中国古代数学蕴涵的变量思想

1中国古代数学蕴涵的变量思想吴立宝王新民内江师范学院数学与信息科学学院四川内江641112摘要：中国古代数学发展过程中，虽然没能产生出严格意义上的变量数学，但这并不等于说我国古代数学中就没有变量思想。在我国古代数学中，不但蕴涵着丰富的变量思想，而且具有自己的特色。从坐标思想、函数与方程思想、极限思想与微积分思想等四个方面来阐述隐藏在中国古代数学中的变量思想。1关键词：古代数学；变量思想；微积分中图分类号：文献标识码：A1变量概念的产生变量的产生在数学发展过程中具有划时代的意义，它催生了解析几何与微积分，促进了函数概念的形成。在数学史上，首次涉及到变量（未用此名称，是用“未知和未定的量”）的是1637年法国数学家笛卡儿的著作《几何学》[1]。笛卡儿指出：假定有一直线绕曲线轴上一点转动，这条直线可以交曲线于两点，但当直线趋近或远离曲线轴的时候，两点逐渐接近并终于重合，此时直线成为曲线的切线，即他把切线看成是割线的极限位置。对于笛卡儿的“变数”，恩格斯给予了很高的评价，恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”[2]笛卡儿的“变数”使数学的发展进入变量数学时代，然而变量概念的形成却经历了近200年的时间。牛顿在《流数术》一书写到“……假定一个量可以无限分割，后者可以使之连续减少，直至它终于完全消失，达到可以把它们称之为零量的程度，或者说他们是无限小的，比任何一个指定的量都小。”并且指出：“线的画出乃至产生不是由于许多点的并列，而是由于点的连续运动。”可以看出牛顿所说的“变量”是由点、线、面的连续运动产生的。现代意义上的变量是1821年由法国数学家柯西给出的：“依次取许多互不相同的值的量叫做变量。”[3]根据数学史发展概况，变量数学的形成主要经历了四个阶段，即解析几何的产生、微积分的创立、函数概念的形成以及极限概念的形成。虽然，在中国古代数学发展中，没能产生出严格意义上的变量数学，但这并不等于说我国古代数学中就没有变量思想。在此过程中孕育了非常重要的变量思想，其中包括坐标思想、函数与方程思想、极限思想、微积分思想等。可以这么说，在我国古代数学发展史上不但蕴涵着丰富的变量思想，而且具有自己的特色。2中国古代数学里的变量思想2.1坐标思想被认为是中国文化源头之一的《周易》是一部重要的儒家经典著作，它与数学有着极为密切的关系，对我国古代数学的发展产生了较大的影响。易者即变化，《周易》被认为是一门研究变化的学问，其中萌动着比较丰富的变量思想，特别是在“八卦”中有着充分的体现。在《易经系辞上传》有这样的描述：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”。[4]八卦是以阴爻（--）阳爻（—）为基础构成“坤、艮、坎、巽、震、离、兑、乾”八卦（如图1）。太极成了派生万物的本源，与古希腊毕达哥拉斯学派的“万物皆数”相映成趣。阴阳两爻又称两仪，八卦的生成过程如“画卦乘方图”（图2）所示。如果收稿日期：基金项目：内江师范学院教改项目“《名题赏析与数学史话》课程建设研究”（JG200609-86）;内江师范学院科研项目“新课标下的普通高师数学教育专业教育类课程体系研究”（06NJS-29）。作者简介：吴立宝（1977—）男，山东日照人，内江师范学院讲师，硕士，主要从事数学教育理论研究。2我们把阳爻规定为正，阴爻规定为负，那么按照每一卦用三个爻来表示的特点，其正负排列就有（---），（--+），．．．，（+++）等八种情况：坤震坎兑艮离巽乾（---）（--+）（-+-）（-++）(+--)（+-+）（++-）（+++）这八个卦正好对应着三维空间中笛卡儿坐标系的八个“卦限”。同样，在二维空间笛卡儿坐标系中分为四个“象限”，这四个象限也正好与“四象”相相对应。由此看来，八卦中蕴涵着坐标思想、对应思想以及变量思想的萌芽。○一太极○一○一两仪○一○二○一四象○一○三○三○一八卦图1太极八卦图图2画卦乘方图2.2函数与方程思想函数是刻画变量之间相依关系的重要概念。在我国古代数学中虽然没有明确地提出函数的概念，但函数的思想在现今发现的我国最早的数学著作《算数书》中就有所体现。在《算数书》中所提出的70多条术文中，大都具有较高的抽象性和广泛的普适性，有些术实际上就是相应数学对象或数学概念的性质，譬如在“增减分”条中给出的术文是“增减分：增分者，增其子；减分者，增其母。”[5]这是一条关于“分数”的运算性质，用现在的语言来说就是，当分母不变时，分数的值随着分子的增大而增大；当分子不变时，分数的值随着分母的增大而减小。实际上，“增减分”描述了正比例函数与反比例函数的单调性，虽然不够完整，但对于以常量计算为主的中国古代数学来说，这是非常难能可贵的。解析几何中的一个重要思想是将方程中的未知数看作“变数”，使方程的解与曲线上的点对应起来，从而运用方程来研究几何曲线的性质。让方程中的未知数取不同的数值最早体现在“不定方程”的研究中。一般认为，数学史上第一个对不定方程进行广泛深入研究的是公元3世纪的古希腊数学家丢番图，而在公元前1世纪成书的中国数学典籍《九章算术》中，对不定方程就进行了比较广泛的讨论，如“方程章”中的“五家共井”问题，在“勾股章”中前后共给出了勾股定理的9组整数解：（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）、（7，24，25）、（8，15，17）、（20，21，29）、（20，99，101）、（48，55，73）、（60，91，109）等。在我国其它的古代数学著作中，对不定方程也有所研究，如《孙子算经》中的“物不知数”问题、《张丘建算经》中的“百鸡问题”、《数书九章》中的“分粜推原”问题等，尤其是“百鸡问题”流传甚广。“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？[6]，此题相当于解不定方程组：1001531003xyzxyz3在《张丘建算经》中给出的解法为：“术曰，鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三。”[7]相当于给出整数解4,257,753xtytzt其中的t依次取1、2、3就可以得到书中给出的三组解。显然，解法中体现了函数中的“参数思想”。2.3极限思想极限是变量数学发展到一定阶段的产物，是揭示变量变化规律的有效工具，极限思想是微积分严格化的基础。极限概念揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识准确。在我国古代数学中，虽没有明确提出极限的概念，也没有对极限进行系统的论述，但对极限思想运用却非常广泛，可以说贯穿在整个中国古代数学的发展过程中。极限思想在我国春秋战国时期的老庄哲学中就有所体现。例如在《庄子·天下篇》称：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是说一尺长的木棒，第一天取它一半，以后每天取剩下的一半，虽然所剩下的木棒在不断地减少，但这根木棒却永远也截取不完。实际上是考察了一个无穷递缩等比数列，意识到它可无限趋于零，并且蕴涵了如下极限过程：)(1214121nn。刘徽是世界上第一个在数学中具体运用极限思想的人。他在“割圆术”、“弧田术”、“开方术”、“阳马术”等中都运用了极限思想。“割圆术”是刘徽公元263年在《九章算术注》中，为“方田章”第23题的“圆田术”作注时引入的，是用来求圆面积及推算圆周率的方法。刘徽指出：“以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂；若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以致于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”[8]他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正192边形，近似地代替圆的面积，算得圆周率为50157（被称为徽率）。利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周，把圆面积看作内接正多边形当边数无限倍增时面积的极限，这是中国古代数学中运用极限思想的佳作。后来，祖冲之运用刘徽这种具有极限思想的“割圆术”，得出了在圆周率计算史上独步千年的“祖率”113355。此外，刘徽在“少广”章“开方术”注中指出：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，……”说明开方开不尽时，用十进分数来近似表示。实际上是用有理数逼近无理数的思想。2.4微积分思想微积分的一个主要思想是“以直代曲”思想，这在我国古代数学中有着非常好的体现。刘徽在推证圆柱、圆锥、圆台等体积公式时，应用了如下方法；首先分别作其外切正四棱柱、锥、台，然后作与底面平行的截面，则分别截得一圆及其外切正方形。刘徽指出，它们的面积之比恒等于:4（被称为“圆方之比率”），并且相应的两个立体体积之比也应为:4。他由此很方便地推证了圆柱、圆锥、圆台的体积公式。其中的关系式：:4VVSS圆外切正方形圆柱（锥、台）外切正四棱柱（锥、台）截面圆：：4被称为“截面原理”。此原理的基本思想就是通过截面上的“化圆为方”（即以直代曲），将曲线型立体体积问题转化为直线型立体体积问题。在这种“以直代曲”思想的引导下，解决了球体积的计算问题，刘徽精巧地设计了“牟合方盖”（直径相同的两个正交圆柱的公共部分）。刘徽在《九章算术》的“少广”章开立圆术注中说:“合盖者，方率也。丸居其中，圆率也。”意思是说虽然“牟合方盖”是一曲线型立体，但其截面却是正方形；丸即球体，其截面是圆，因此，球体积与外切牟合方盖体积的比等于π/4。这样就将球体积计算问题转化为“牟合方盖”体积的计算问题。在刘徽工作的基础上，我国南北朝时期的数学家祖暅（祖冲之之子）将“截面原理”推广到更为一般的情形，提出了著名的“祖暅原理”：“夫叠幂成立积，缘幂势既同，则积不容异。”就是说立体是由面叠积而成的，若两个立体在相同高度处的截面面积相同，那么它们的体积也相同。其中的“叠幂成立积”思想与现代微积分中的定积分思想是一致的，如果用现在的符号，“祖暅原理”可以改述成：在空间直角坐标系中，1V与2V是两立体之体积，如果平行于yoz平面的平面截1V与2V所得的截面面积12()(),[,]AxAxxab，则1122()()bbaaVAxdxAxdxV.其中a与b分别是两立体的最低点与最高点高度（设x轴与水平面垂直）。借助此原理，祖暅成功地计算出“牟合方盖”的体积，从而推导出了刘徽梦寐以求的球体体积公式：334RV。数学是作为民族文化的一部分，我国古代数学的微积分思想在哲学、文学等方面也有比较充分地体现。譬如荀子在《劝学篇》中说:“积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生焉；积善成德，而神明自得，圣心备焉。”“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江河。”老子在《道德经》中说，“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下。”还有许多成语，如日积月累，积少成多，积羽沉舟，集腋成裘，聚沙成塔等。这些论述中均蕴涵着定积分的微元法思想。3结束语中国在14世纪以前是世界数学强国，数典念祖，我们相信，有良好数学传统的中国，一定可以成为21世纪的数学强国。我国数学家齐民友指出：“历史已经证明，而且将继续证明，一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。”他进而说：“没有现代的数学就不会有现代的文化。没有现代数学的文化是注定要衰落的。”参考文献：[1]徐品方，张红.数学符号史[M].北京：科学出版社，2006：245.[2]张顺燕.从变量数学到现代数学[J].高等数学研究，2006，9（6）：2-5.[3]李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995：133.[4][7]赵籍丰.中国古代数学[M].北京：北京科学技术出版社，2005：13.[5]张红.数学简史[M].北京：科学出版社，2007：62-64.[6]鲁又文.数学古今谈[M].天津：