《计算方法》学术报告

《计算方法》学习报告《线性方程组的直接解法及其应用》研究学院：专业：组号：成员：《线性方程组的直接解法及其应用》研究第1章描述数值分析也称计算方法，它与计算机工具发展密切相关。研究使用计算机求解各种科学与工程计算问题，对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等。计算方法课程中所讲的各种数值方法在科学与工程计算、信息科学、管理科学、生命科学等交叉学科中有着广泛的应用。1.1《线性方程组的直接解法及其应用》描述在科技、工程、医学、经济等各个领域中，经常遇到求解n阶线性方程组的问题.方程组（1.1）的系数),,2,1.(njiaij和右端项),,2,1(nibi均为实数，且1b、2b，……，nb不全为零。方程组（1.1）可简记为bAx其中mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxx21，mbbbb21.线性方程组的数值解法有两大类，一类是直接法，另一类是迭代法。本次主要研究的是直接解法。所谓直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得现行方程组的近似解。这类算法中最基本的是高斯消元法及其某些变形，它是解决低阶稠密矩阵方程组及某些系数矩）（1-1,,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa阵方程组的有效方法1.2《线性方程组的直接解法及其应用》的相关概念1.特征值和特征向量设A是一个nn阶实矩阵，若对于数，存在非零向量x，使得xAx成立。则称是A的特征值，x为A的对应于的特征向量。2.矩阵的谱半径设A为n阶方阵，(1,2,,)iin为A的特征值，称特征值模的最大值为矩阵A的谱半径，记为iniA1max)(。),,,(21n称为矩阵A的谱。由特征值的定义容易得出，矩阵个kkAAAA的谱是),2,1)(,,,(21kknkk，因而kkAA)]([)(3.常用矩阵设A为n阶方阵，则：（1）对角矩阵：当ji时，0ija。（2）三对角矩阵：当1ji时，0ija。（3）上三角矩阵：当ji时，0ija。（4）对称矩阵：AAT。（5）对称正定矩阵：AAT且对任意非零向量nRx，有0AxxT。（6）正交矩阵：TAA1。（7）初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵。4.高斯消去法高斯消去法是一种规则化的加减消元法。基本思想是通过逐次消元计算把需要求解的线性方程组转化为上三角形方程组，即把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价(同解)的上三角形方程组的求解。5.列主元消去法列主元素消去法是为控制舍入误差而提出来的一种算法,在高斯消去法的消元过程中,若出现a=0,则消元无法进行,即使其不为0,但很小,把它作为除数,就会导致其他元素量级的巨大增长和舍入误差的扩散,最后使计算结果不可靠.使用列主元素消去法计算,基本上能控制舍入误差的影响,并且选主元素比较方便。6.直接三角分解法如果线性方程组bAx的系数矩阵已进行三角分解，A=LU，则解bAx等价于求解两个三角形方程组yUxbLy,。直接从矩阵A的元素得到计算L、U元素的递推公式，而不需任何中间步骤，这就是直接三角分解法。7.平方根法应用有限元法解结构力学问题时，最后归结为求解线性方程组，系数矩阵大多具有正定性质。所谓平方根法，就是利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解对称正定方程组的一种有效方法，目前在计算机上广泛应用平方根法解此类方程组。8.追赶法设Annnnnbacbacbacb11122211=LU1000010001000132nlllnnnurururu11221100其中iiirul,,为待定系数，根据矩阵乘法规则，可得),,3,2(,1111niulrbulacrubiiiiiiiii如果0(1,2,,1)iiuin，可得),,3,2(/1i111nilcbuualbuiiiiii即LUA1000010001000132nlllnnnucucucu11221100方程组可化为求解方程组dLy和yUx。解dLy得),,3,2(111nkyldydykkkk再解yUx，得方程组的解)1,,2,1(/)(/1nnkuxcyxuyxkkkkknnn上述方法即被称为求解三对角方程组的追赶法。9．向量范数若是向量空间nR上的实值函数，且满足条件（1）非负性：对任何向量nRx，0x，且0x当且仅当0x；（2）齐次性：对任何实数和向量nRx，xx；（3）三角不等式：对任何向量nRyx,，yxyx则称为向量空间nR上的范数，x为向量x的范数。理论上存在多种多样的向量范数，最常用有如下三种：（1）2范数2x22221nxxx（2）1范数1xniix1（3）范数xinix1max10．矩阵范数若是以n阶方阵为变量的实值函数，且满足条件：（1）0,0AA且，当且仅当0A；（2）对任意实数，都有AA；（3）对任意两个n阶方阵BA,都有BABA；（4）BAAB（相容性条件）。则称A为矩阵A的范数。设n阶方阵A)(ija，常用的矩阵范数有：（1）1范数1Aniijnja11max（2）范数Anjijnia11max（3）2范数)(max2AAAT，其中)(maxAAT表示AAT的最大特征值。11．病态方程组如果矩阵A或常数项b的微小变化，引起方程组bAx解的巨大变化，则称此方程组为“病态”方程组，矩阵A称为“病态”矩阵(相对于方程组而言)，否则称方程组为“良态”方程组，A为“良态”矩阵。12．条件数设A为非奇异矩阵，称数1AA为矩阵A的条件数，记为cond)(A1AA常用的条件数有cond1AAA)(cond)(nAAA12122其中n,1分别为矩阵的AAT的最大特征值和最小特征值，故cond2)(A又称为谱条件数。特别地，如果A为实对称矩阵，),,2,1(nii为A的特征值，且n21，则condnA12)(对方程组bAx，当cond1)(A时，方程组是病态的，否则，方程组是良态的。1.3《线性方程组的直接解法及其应用》的相关问题1.用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？2.高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组bAx有何不同？A要满足什么条件？3.楚列斯基分解与LU分解相比，有什么有点？4.哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？5.什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？6.何为向量范数？给出三种常用的向量范数。7.何为矩阵范数?给出矩阵)(ijaA的三种范数1A、2A、A，1A与2A哪个更容易计算？为什么？8.什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？9.满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？(1)矩阵行列式的值很小。(2)矩阵的范数小。(3)矩阵的范数大。(4)矩阵的条件数小。(5)矩阵的元素绝对值小。(6)只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解法可求得线性方程bAx的解。10.判断下列命题是否正确：(1)对称正定的线性方程组总是良态的。(2)一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。(3)如果A非奇异，则bAx的解的个数是由右端向量b决定的(4)如果三对角矩阵的主对角元素有零元素，则矩阵必奇异。(5)范数为零的矩阵一定是零矩阵。(6)奇异矩阵的范数一定是零。(7)如果矩阵对称，则1A=A。(8)如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。(9)在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。（10）1A=TA。（11）若A是nn的非奇异矩阵，则)()(1AcondAcond1.4《线性方程组的直接解法及其应用》的相关理论定理1：设nnRA,则下述命题等价：（1）对任何nRb，方程组bAx有唯一解。（2）齐次方程组0Ax只有唯一解0x。（3）0)det(A（4）1A存在。（5）A的秩nArank)(。定理2：设A为n阶方阵，若A的顺序主子式0iD（i=1,2,…，n-1）则矩阵A分解成单位下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一。定理3：（列主元素的三角分解定理）如果A为非奇异矩阵。则存在排列矩阵P使LUPA，其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。定理4：（对称阵的三角分解定理）设A是对称矩阵，且A的所有顺序主子式均不为零，则A可唯一分解为TLDLA其中L为单位下三角形矩阵，D为对角矩阵。定理5：（对称正定矩阵的三角分解或Choleskg分解）若A是n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都为正的下三角阵L，使得：TLLA，当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的。定理6：设有三对角线方程组fAx，其中A满足条件0)1,,3,2(0011nniiiiiabnicacabcb，则A为非奇异矩阵且追赶法计算公式中的i，i满足：（1）;1,,2,1,10nii（2）;1,,3,2,0niabbaabciiiiiii（3）.0nnnnabab定理7：设nRyx,（或nC），则（1）0,xx，当且仅当0x时成立（2）yxyx,,，为实数（或yxyx,,，为复数）（3）xyyx,,（或xyyx,,）；（4）yxyxyxx,,,2121；（5）（柯西-施瓦茨不等式）22,yxyx，等式当且仅当x与y线性相关时成立；（6）三角不等式222yxyx定理8：（xN连续性）设非负函数xxN为nR上任一向量范数，则xN是x得分量nxxx,,21的连续函数。定理9：（向量范数的等价性）设ax，x为nR上向量的任一任意两种范数，则存在常数0,Mm使得对一切nRx有xMxxm定理10：0lim**xxxxkkk，其中为向量的任一种范数.定理11：设vx是nR上一个向量范数，则vA是nnR上矩阵的范数，且满足相容条件vvvxAAx.定理12：设nRx，nnRA，则（1）)(max11的行范数称为AaAnjijni（2）)A(max111的列范数称为niijnjaA（3）)-2A()(max2范数的称为，AAAT其中)(maxAAT表示AAT的最大特征值定理13：对任何nnRA，为任一种算子范数则AA（对FA也成立）反之，对任意实数0，至少存在一种算子范数使AA定理14：如果nnRA为对称矩阵，则AA2.定理15：如果1B，则BI为非奇异矩阵，且BBI111其中是指矩阵的算子范数。定理16：设A是非奇异阵，0bAx，且bbxxA)(，则bbAAxx1定理17：设A是非奇异阵，0bAx，且bbxxAA))((如果11AA，则AAAAAAAAAAAAxx111