《高三数学总复习》数学理新课标A版一轮总复习课件第6章不等式推理与证明-3

第六章不等式、推理与证明自主园地备考套餐课前学案基础诊断第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课堂学案考点通关开卷速查1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．考纲导学3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.夯基固本基础自测课前学案基础诊断1．二元一次不等式(组)表示的平面区域作二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)表示的平面区域的方法步骤：(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；(2)在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，特别地，当C≠0时，常把□1______作为此特殊点；(3)若Ax0＋By0＋C＞0，则包含点P的半平面为不等式□2________________所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式□3______________所表示的平面区域．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组．(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．(3)线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．(4)可行解：满足□4__________________的解(x，y)．(5)可行域：所有□5__________的集合．(6)最优解：使□6________取得最大值或最小值的可行解．3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)作出目标函数的等值线；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定□7__________；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．答案：□1原点□2Ax＋By＋C＞0□3Ax＋By＋C＜0□4线性约束条件□5可行解□6目标函数□7最优解1种方法——确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．1个步骤——利用线性规划求最值的步骤(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．2个注意点——求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值，应注意以下两点：(1)若b＞0，则截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值．(2)若b＜0，则截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．1．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是()A．a＜－7，或a＞24B．－7＜a＜24C．a＝－7，或a＝24D．以上都不对解析：点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)＜0，解之得－7＜a＜24.答案：B2．不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示．由x＋3y＝4，3x＋y＝4，得交点A的坐标为(1,1)．又B，C两点的坐标为(0,4)，0，43.故S△ABC＝12×4－43×1＝43.答案：C3．设x，y满足2x＋y≥4，x－y≥－1，x－2y≤2，则z＝x＋y()A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，又无最大值解析：由图像可知，z＝x＋y在点A处取最小值zmin＝2，无最大值．答案：B4．设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x－5y＋10≤0，x＋y－8≤0.则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为()A．3，－11B．－3，－11C．11，－3D．11,3解析：作出可行域如图阴影部分所示，由图可知，z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．∴z最小＝3×3－4×5＝－11，z最大＝3×5－4×3＝3.答案：A5．已知实数x，y满足不等式组x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，目标函数z＝y－ax(a∈R)．若z取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是__________．解析：如图，依题意，直线x＋y－4＝0与x－y＋2＝0交于A(1,3)，此时目标函数取最大值，故a＞1.答案：(1，＋∞)考点例析通关特训课堂学案考点通关考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋43过定点0，43.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D12，52.当y＝kx＋43过点12，52时，52＝k2＋43，所以k＝73.答案：A►名师点拨确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．通关特训1在平面直角坐标系中，不等式组x＋y≥0，x－y＋4≥0，x≤a(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为()A．32＋2B．－32＋2C．－5D．1解析：区域如图，易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)，C(a，－a)．S△ABC＝12|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，得a＝1，故选D.答案：D考点二线性目标函数的最值问题【例2】(1)设变量x，y满足约束条件：y≥x，x＋2y≤2，x≥－2.则z＝x－3y的最小值为()A．－2B．－4C．－6D．－8(2)已知a＞0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3.若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.14B.12C．1D．2解析：(1)由约束条件作出可行域，如图所示的阴影△ABC区域(包括边界)．由x＝－2，x＋2y＝2得x＝－2，y＝2.故C(－2,2)．作出直线l0：y＝13x，平移直线l0，当直线l0经过点C(－2,2)时，z取得最小值，且zmin＝－2－3×2＝－8，故选D.(2)由题意作出x≥1，x＋y≤3所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得a＝12，所以a＝12.答案：(1)D(2)B►名师点拨线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．通关特训2(1)已知变量x，y满足约束条件y≤2，x＋y≥1，x－y≤1则z＝3x＋y的最大值为()A．12B．11C．3D．－1(2)已知x，y满足x≥1，x＋y≤4，x＋by＋c≤0，记目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为()A．－1，－4B．－1，－3C．－2，－1D．－1，－2解析：(1)如图所示，可行域是以A(－1,2)，B(1,0)，C(3,2)为顶点的三角形区域(含边界)．作出直线3x＋y＝0(图中虚线)，易知当直线3x＋y＝0平移到过C点时，该直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值11，选B.(2)由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7和直线x＋y＝4的交点，经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，所以3＋b＋c＝0，1－b＋c＝0，解得b＝－1，c＝－2.答案：(1)B(2)D考点三线性规划的实际应用【例3】某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元解析：设需A，B型车分别为x，y辆(x，y∈N)，则x，y需满足x＋y≤21，36x＋60y≥900，y－x≤7，x∈N，y∈N，设租金为z，则z＝1600x＋2400y，画出可行域如图阴影部分所示，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x＝5，y＝12，此时z最小等于36800，故选C.答案：C►名师点拨求解线性规划应用题的注意点(1)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．(2)对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．通关特训3某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝()A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元解析：设当天派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得2x＋y≤19，x＋y≤12，10x＋6y≥72，0≤x≤8，x∈N，0≤y≤7，y∈N.设每天的利润为z元，则z＝450x＋350y.画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，经过点A时取得最大值．又由x＋y＝12，2x＋y＝19，得x＝7，y＝5，即A(7,5)．所以当x＝7，y＝5时，z取到最大值，zmax＝450×7＋350×5＝4900元．答案：C考点四非线性目标函数的最值问题【例4】变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，(1)设z＝yx，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．解析：由约束条件x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，作出(x，y)的可行域如图所示.由x＝1，3x＋5y－25＝0，解得A1，225.由x＝1，x－4y＋3＝0，解得C(1,1)．由x－4y＋3＝0，3