《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件第3章三角函数解三角形-5

第三章三角函数、解三角形自主园地备考套餐课前学案基础诊断第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课堂学案考点通关开卷速查1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．考纲导学4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).夯基固本基础自测课前学案基础诊断1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝□1________________，cos(α±β)＝□2__________________，tan(α±β)＝□3__________________.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝□4____________，cos2α＝□5__________＝□6________＝□7________，tan2α＝□8__________3．有关公式的逆用、变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝□9__________，sin2α＝□10__________；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.4．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.答案：□1sinαcosβ±cosαsinβ□2cosαcosβ∓sinαsinβ□3tanα±tanβ1∓tanαtanβ□42sinαcosα□5cos2α－sin2α□62cos2α－1□71－2sin2α□82tanα1－tan2α□91＋cos2α2□101－cos2α21组关系——两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式的关系2个技巧——拼角、凑角的技巧(1)用已知角表示未知角2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β等．(2)互余与互补关系π4＋α＋π4－α＝π2；π3＋α＋π6－α＝π2；3π4－α＋π4＋α＝π；π6＋α＋5π6－α＝π；…3个变换——应用公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．1．若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C.13D.23解析：因为sinα2＝33，所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13.答案：C2．sin34°sin26°－cos34°cos26°的值是()A.12B.32C．－12D．－32解析：sin34°sin26°－cos34°cos26°＝－(cos34°cos26°－sin34°sin26°)＝－cos(34°＋26°)＝－cos60°＝－12.答案：C3．已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为()A.2941B.129C.141D．1解析：tan(α＋β)＝tanα－π6＋π6＋β＝tanα－π6＋tanπ6＋β1－tanα－π6·tanπ6＋β＝37＋251－37×25＝1.答案：D4．设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是__________．解析：∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－12.又α∈π2，π，∴sinα＝32，tanα＝－3.∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－－32＝3.答案：35．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝__________.解析：∵tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴3－3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，即tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝3.答案：3考点例析通关特训课堂学案考点通关考点一三角函数的化简与求值【例1】(1)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1(2)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0＜θ＜π)的结果是__________．解析：(1)4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin120°－40°－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝3.(2)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2|cosθ2|＝－cosθ2·cosθ|cosθ2|.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2.所以cosθ2＞0，故原式＝－cosθ.答案：(1)C(2)－cosθ►名师点拨三角函数化简与求值的解题策略1．三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征．2．解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．通关特训1(1)sin50°(1＋3tan10°)＝__________.(2)化简2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2x＋π4的结果是__________．解析：(1)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°(1＋tan60°tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(2)原式＝2cos2xcos2x－1＋122tanπ4－x·cos2π4－x＝－4cos2xsin2x＋14cosπ4－xsinπ4－x＝1－sin22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.答案：(1)1(2)12cos2x考点二三角函数的条件求值【例2】(1)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝()A.43B.34C．－34D．－43(2)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.①求f－π6的值；②若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3.解析：(1)方法一：(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tanα－3＝0，tanα＝3或tanα＝－13，代入tan2α＝2tanα1－tan2α，得tan2α＝－34.方法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sinα＝310，cosα＝110，这时sinα＋2cosα＝102符合要求，此时tanα＝3，代入二倍角公式得到答案C.(2)①f－π6＝2cos－π6－π12＝2cos－π4＝2cosπ4＝1.②f2θ＋π3＝2cos2θ＋π3－π12＝2cos2θ＋π4＝cos2θ－sin2θ.因为cosθ＝35，θ∈3π2，2π，所以sinθ＝－45.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－2425，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－725.所以f2θ＋π3＝cos2θ－sin2θ＝－725－－2425＝1725.答案：(1)C(2)见解析►名师点拨三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．通关特训2(1)已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()A.1318B.1322C.322D.16(2)设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝__________.解析：(1)∵α＋π4＋β－π4＝α＋β，∴α＋π4＝(α＋β)－β－π4，∴tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.(2)方法一：由θ在第二象限，且tanθ＋π4＝12，因而sinθ＋π4＝－55，因而sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π4＝－105.方法二：如果将tanθ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，则tanθ＋11－tanθ＝12，求得tanθ＝－13.又因为θ在第二象限，则sinθ＝110，cosθ＝－310，从而sinθ＋cosθ＝－210＝－105.答案：(1)C(2)－105考点三三角变换的综合应用【例3】已知函数f(x)＝－2sin2x＋π4＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)f(x)＝－2sin2x·cosπ4－2cos2x·sinπ4＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝22sin2x－π4.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)∵x∈0，π2，∴2x－π4∈－π4，34π，所以f(x)在区间0，3π8上是增函数，在区间3π8，π2上是减函数，又f(0)＝－2，f3π8＝22，fπ2＝2，故函数f(x)在0，π2上的最大值为22，最小值为－2.►名师点拨三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略(1)与三角函数的图像与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图像解决．(2)与向量相结合的综合问题．此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图像与性质等问题解决．通关特训3设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解析：(1)由|a|2＝(3sinx)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12