【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测专题五立体几何]

专题五立体几何1．下列命题中，假命题的个数为()①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边；②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在平面．A．0个B．1个C．2个D．3个2．在斜二测画法中，边长为a的正方形的直观图的面积为()A．a2B.22a2C.12a2D.24a23．设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为()A．3个B．2个C．1个D．0个4．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°5．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°6．给出命题：①在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心；⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确的命题是______________________(只填序号)．7．(2012年辽宁)一个几何体的三视图如图K5­1，则该几何体的表面积为____________．图K5­18．(2013年广东广州一模)如图K5­2，在三棱锥P－ABC中，∠PAB＝∠PAC＝∠ACB＝90°.(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AB＝2，当三棱锥P－ABC的体积最大时，求BC的长．图K5­29．如图K5­3，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.(1)求证：NC∥平面MFD；(2)若EC＝3，求证：ND⊥FC；(3)求四面体N－FEC体积的最大值．图K5­3专题五立体几何1．B2.D3.C4．A解析：连接AC，则AC是PC在平面ABCD上的射影．∴∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．∵AB＝1，BC＝2，∴AC＝3.∴在Rt△PAC中，tan∠PCA＝PAAC＝13＝33.∴∠PCA＝30°.故选A.5．C解析：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又△A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°.6．②④解析：①错误，垂直于同一平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要非充分条件；⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时可以作出满足要求的平面．7．38解析：由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为2(3×4＋4×1＋3×1)＋2π×1×1－2π＝38.8．(1)证明：因为∠PAB＝∠PAC＝90°，所以PA⊥AB，PA⊥AC.因为AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABC.因为BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.因为∠ACB＝90°，所以BC⊥CA.因为PA∩CA＝A，所以BC⊥平面PAC.因为BA⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)方法一，由已知及(1)所证可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，所以PA是三棱锥P－ABC的高．因为PA＝1，AB＝2，设BC＝x(0x2)，所以AC＝AB2－BC2＝22－x2＝4－x2.因为VP－ABC＝13S△ABC×PA＝16x4－x2＝16x24－x2≤16×x2＋4－x22＝13.当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时等号成立．所以当三棱锥P－ABC的体积最大时，BC＝2.方法二，由已知及(1)所证可知，PA⊥平面ABC，所以PA是三棱锥P－ABC的高．因为∠ACB＝90°，设∠ABC＝θ0θπ2，则BC＝ABcosθ＝2cosθ，AC＝ABsinθ＝2sinθ.所以S△ABC＝12×BC×AC＝12×2cosθ×2sinθ＝sin2θ.所以VP－ABC＝13S△ABC×PA＝13sin2θ.因为0θπ2，所以当θ＝π4时，VP－ABC有最大值为13.此时BC＝2cosπ4＝2.所以当三棱锥P－ABC的体积最大时，BC＝2.9．(1)证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN＝EF＝CD.所以四边形MNCD是平行四边形，所以NC∥MD.因为NC⊄平面MFD，所以NC∥平面MFD.(2)证明：连接ED，设ED∩FC＝O.因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，所以FC⊥NE.又EC＝CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED.所以FC⊥平面NED.所以ND⊥FC.(3)解：设NE＝x，则EC＝4－x，其中0＜x＜4.由(1)得，NE⊥平面FEC，所以四面体N－FEC的体积为VN－FEC＝13S△EFC·NE＝12x(4－x)．所以VN－FEC≤12x＋4－x22＝2.当且仅当x＝4－x，即x＝2时，四面体N－FEC的体积最大．第十四章概率第1讲随机事件的概率1．B2.C3.B4．D解析：由互斥事件与对立事件的概念知答案为D.5．B解析：由随机数可得：在20组随机数中满足条件的只有5组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.6.35解析：共有取法5种，其中理科书为3种，∴p＝35.7．30%解析：甲、乙二人下成和棋的概率为80%－50%＝30%，故答案为30%.8.81514159．解：(1)至少有一人排队的概率为p1＝1－0.10＝0.90.(2)至多2人排队的概率为p1＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.(3)至少2人排队的概率为p2＝1－(0.10＋0.16)＝0.74.10．解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率120320420720320220(2)P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y490或Y530)＝P(X130或X210)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为310.第2讲古典概型1．D2.D3.C4．A解析：试验是连续掷两次骰子．故共包含6×6＝36(个)基本事件．事件“点P(m，n)落在直线x＋y＝5下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件，故p＝636＝16.5．D解析：设到会男教师x人，则女教师为x＋12人，由条件知，xx＋x＋12＝920，∴x＝54，∴2x＋12＝120.故选D.6．D7.49解析：2件正品记为a，b，次品记为c，则有放回地连续取两次的基本事件有(a，b)，(a，c)，(b，c)，(b，a)，(c，a)，(c，b)，(a，a)，(b，b)，(c，c)共9个．记“恰好有一件次品”为事件A，则A含有的基本事件数为4个．∴P(A)＝49.8.712解析：∵cosθ＝m－n2·m2＋n2，θ∈0，π2，∴m≥n，满足条件m＝n的概率为636＝16，mn的概率与mn的概率相等，∴mn的概率为12×1－16＝512，∴满足m≥n的概率为p＝16＋512＝712.9．解：(1)由样本数据知，30件产品中等级系数ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．∴样本中一等品的频率为630＝0.2，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2；二等品的频率为930＝0.3，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；三等品的频率为1530＝0.5，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5.(2)样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，记等级系数为7的3件产品分别为C1，C2，C3，等级系数为8的3件产品分别为P1，P2，P3.则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，(P1，P2)，(P1，P3)，(P2，P3)，(C1，P1)，(C1，P2)，(C1，P3)，(C2，P1)，(C2，P2)，(C2，P3)，(C3，P1)，(C3，P2)，(C3，P3)，共15种．记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A，则A包含的基本事件有(P1，P2)，(P1，P3)，(P2，P3)共3种，故所求的概率P(A)＝315＝15.10．解：(1)依题意，分层抽样的抽样比为354＝118.∴在一年级抽取的人数为36×118＝2(人)．在二年级抽取的人数为72×118＝4(人)．所以一、二年级志愿者的人数分别为2人和4人．(2)①用A1，A2表示样本中一年级的2名志愿者，用a1，a2，a3，a4表示样本中二年级的4名志愿者．则抽取2人的情况为A1A2，A1a1，A1a2，A1a3，A1a4，A2a1，A2a2，A2a3，A2a4，a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，共15种．②抽取的2人在同一年级的情况是A1A2，a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，共7种．∵每一种情况发生的可能性都是等可能的，∴抽取的2人是同一年级的概率为715.第3讲几何概型1．C2.A3.C4．A解析：在区间[－1,1]上随机取一个数x，即x∈[－1,1]时，要使cosπx2的值介于0到12之间，需使－π2≤πx2≤－π3或π3≤πx2≤π2，∴－1≤x≤－23或23≤x≤1，区间长度为23，由几何概型知cosπx2的值介于0～12之间的概率为232＝13.5．A解析：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°，∴扇形ADE的面积为S1＝14×π×12＝π4.同理可得，扇形CBF的面积S2＝π4.又∵长方形ABCD的面积S＝2×1＝2，∴在该矩形区域随机地选一地点，则该地点无信号的概率是p＝S－S1＋S2S＝2－π4＋π42＝1－π4.6．1－π47．D解析：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD＝14CD时，AB＝PB，如图D84.设CD＝4x，则AF＝DP＝x，BF＝3x，再设AD＝y，PB＝BF2＋PF2＝3x2＋y2，于是3x2＋y2＝4x，解得y4x＝74，从而ADAB＝74.图D848.π－24π解析：即图D85中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型，概率为π－24π.图D85图D869．解：如图D86，试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，故所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.10．解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.基本事件有(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)．共包含12个基本事件；其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．故P(A)＝212＝16.(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b0，即2x＋y0，且x≠2y.Ω＝x，y－1≤x≤2－1≤y≤1，B＝