上海市浦东新区2013届高三上学期期末质量抽测数学理试题

浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷（理科）2013.1一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合},0{mA，}2,0{B，}2,1,0{BA，则实数m1.2．已知二元一次方程组222111cybxacybxa的增广矩阵是311111，则此方程组的解是21xy.3．函数)2(log2xy的定义域为),3[.4．已知,xyR，且41xy，则xy的最大值为116.5．函数1yx（0x）的反函数是2(1)yx（1x）.6．函数()2sinsin44fxxx的最小正周期为.7．等差数列na中，67812aaa，则该数列的前13项和13S52.8．已知数列na是无穷等比数列，其前n项和是nS，若232aa，341aa，则limnnS的值为316.9．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为82cm.10．二项式12nxx的展开式前三项系数成等差数列，则n8.11．已知甲射手射中目标的频率为0.9，乙射手射中目标的频率为0.8，如果甲乙两射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为0.98.12．已知向量a与向量b，2a，3b，a、b的夹角为60，当12,02mn时，manb的最大值为219.13．动点P在边长为1的正方体1111ABCDABCD的对角线1BD上从B向1D移动，点P作垂直于面11BBDD的直线与正方体表面交于,MN，,BPxMNy，则函数()yfx的解析式为263,0,3226322,,332xxyxx或|3622|2x]3,0[x给分.14．1,2,,n共有!n种排列12,,,naaa（2,nnN），其中满足“对所有1,2,,kn都有2kak”的不同排列有223n种.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b，则“BA”是“coscosaAbB”的（A）()A充分非必要条件()B必要非充分条件()C充要条件()D非充分非必要条件16．已知函数241)(xxf，若函数1()4yfxm为奇函数，则实数m为（C）()A12()B0()C12()D117．若1x，2x，3,x，2013x的方差为3，则13(2)x，23(2)x，33(2),x，20133(2)x的方差为（D）()A3()B9()C18()D2718．定义域为,ab的函数()yfx图象的两个端点为,AB，向量(1)ONOAOB，(,)Mxy是()fx图象上任意一点，其中(1),0,1xab.若不等式MNk恒成立，则称函数()fx在,ab上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．AA1B1c1BC下列定义在1,2上函数中，线性近似阀值最小的是（D）()A2yx()B2yx()Csin3yx()D1yxx三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，直三棱柱111ABCABC中，12ABACAA,45ABC.（1）求点A到平面1ABC的距离；（2）求二面角1AACB的大小.解：（1）2,45,90ABACABCBAC，143AABCV.11122,23ABCABBCACS.…3分设点A到平面距离为h，由11123,33ABCAABChSVh.点A到平面距离为233.……6分（2）设1AC的中点为M，连结,BMAM.1111,,,BABCAAACBMACAMAC.AMB是二面角1AACB的平面角.………………………8分tan2,arctan2AMBAMB二面角1AACB的大小为arctan2.………………………………12分20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知60ACB且30||AC米，=AMx，]20,10[x.（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为Sk37，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，CMABNP每平方米的造价为Sk12（k为正常数），求总造价T关于S的函数)(SfT；试问如何选取||AM的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）.解：（1）在PMCRt中，显然xMC30||，60PCM，)30(3tan||||xPCMMCPM，………………2分矩形AMPN的面积)30(3||||xxMCPMS，[10,20]x…4分于是32253200S为所求.……………………………6分（2）矩形AMPN健身场地造价1TSk37……………………7分又ABC的面积为3450，即草坪造价2T)3450(12SSk，……………8分由总造价21TTT，)3216(25SSkT，32253200S.…10分36123216SS，……………………………………………………11分当且仅当SS3216即3216S时等号成立，……………………………12分此时3216)30(3xx，解得12x或18x，所以选取||AM的长为12米或18米时总造价T最低.………………………14分21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数122sin3,1(2cos)zizi，[,]32.（1）若12zz为实数，求角的值；（2）若复数12,zz对应的向量分别是,ab，存在使等式()()0abab成立，求实数的取值范围.解：（1）iizz)cos2(1)3sin2(21(2sin23cos)(2sin23)iR，……2分232sin，……………………………………………………………………4分又232，322，即3.……………………………………6分（2）228ab，………………………………………………………………………8分2sin23cosab，………………………………………………………10分)()(baba0)1()(222baba.得0)cos32sin2)(1(82，整理得)3sin(122.……12分因为]6,0[3，所以]21,0[)3sin(.只要012212即可，………………13分解得32或032.……………………………………………14分22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）定义数列}{nx，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有1()()0nnxpxp成立，那么我们称数列}{nx为“p摆动数列”．（1）设12nan，nnqb（01q），Nn，判断数列}{na、}{nb是否为“p摆动数列”，并说明理由；（2）已知“p摆动数列”}{nc满足111nncc，11c，求常数p的值；（3）设(1)(21)nndn，且数列}{nd的前n项和为nS，求证：数列}{nS是“p摆动数列”，并求出常数p的取值范围.解：（1）假设数列}{na是“p摆动数列”，即存在常数p，总有1212npn对任意n成立，不妨取1n时则31p，取2n时则53p，显然常数p不存在，所以数列}{na不是“p摆动数列”；……………………………………………2分由nnqb，于是0121nnnqbb对任意n成立，其中0p.所以数列}{nb是“p摆动数列”.………………………………………………4分（2）由数列}{nc为“p摆动数列”，11c212c，即存在常数121p，使对任意正整数n，总有0))((1pcpcnn成立；即有0))((12pcpcnn成立.则0))((2pcpcnn，………………6分所以pcpcpcn1231.……………………………………7分同理pcpcpcn242.…………………………………………8分所以122nncpc121211nncc，解得21512nc即215p.…9分同理nncc2211，解得2152nc；即215p.综上215p.……………11分（3）证明：由)12()1(ndnnnSnn)1(，…………………………………13分显然存在0p，使对任意正整数n，总有0)1()1(121nnSSnnn成立，所以数列}{nS是“p摆动数列”；…………………………………………………14分当n为奇数时nSn递减，所以11SSn，只要1p即可当n为偶数时nSn递增，22SSn，只要2p即可综上21p，p的取值范围是)2,1(.………………………………………16分（取)2,1(中的任意一个值，并给予证明均给分）如取21p时，]21)1()1][(21)1[()21)(21(11nnSSnnnn41)1(21)1(41)1(21)1()1(12nnnnnnn.因为4341)1(2141n，2)1(nn，存在21p，使0)21)(21(1nnSS成立.所以数列}{nS是“p摆动数列”.23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）设函数12,02()12(1),12xxTxxx（1）求函数)2sin(xTy和)(2sinxTy的解析式；（2）是否存在非负实数a，使得()()aTxTax恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）定义1()(())nnTxTTx，且1()()TxTxnN①当10,2nx时，求()nyTx的解析式；已知下面正确的命题：当11,22nniix(121)niNi，时，都有-1()()2nnniTxTx恒成立.②对于给定的正整数m，若方程()mTxkx恰有2m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列nx12mn，求数列nx所有2m项的和.解：（1）函数152sin44+4+4+2233sin()21522sin4+4+233xxkkkkkZyTxxxkkkZ，，，函数1sin20,22sin()=sin0,121sin2-2,122xxyTxxxxx……4分（2）12,02()12(1),12axxyaTxaxx，12,02()12(1),12axaxyTaxaxax……6分当0a时，则有(())()0aTxTax恒成立