上海市黄浦区2014届高三数学二模试卷(理科,含答案)

1/4上海市黄浦区2014年高考模拟数学（理）试卷(2014年4月10日)考生注意：1．每位考生应P.F.Productions后期制作同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则小水制作一律得零分．1．函数xxy11log2的定义域是．2．函数xxy22sincos的最小正周期T．3．已知全集RU，集合|0,RAxxax，||1|3,RBxxx．若U()[2,4]CAB，则实数a的P.F.Productions后期制作取值范围是．4．已知等差数列*(N)nan的公差为3，11a，前n项和为nS，则nnnSnalim的数值是．5．函数)1,0(|log|)(aaxxfa且的单调递增区间是．6．函数)0()(2xxxf的反函数是)(1xf，则反函数的解析式是)(1xf．7．方程1)34(log2xx的解x．8．在ABC中，角CBA、、所对的边的长度分别为cba、、，且abcba3222，则C.9．已知i(i11x是虚数单位，以下同)是关于x的实系数一元二次方程02baxx的一个根，则实数a，b．P.F.Productions后期制作10．若用一个平小水制作面去截球体，所得截面圆的面积为16，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是．11．(理)已知向量)1,0()4,3(ba，，则向量a在向量b的方向上的投影是．2/412．(理)直线l的参数方程是12,(R,2xttytt是参数)，则直线l的一个方向向量是．(答案不唯一)P.F.Productions后期制作13．(理)某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机变量表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量的数学期望值E．14．已知函数)(xfy是定义域为R小水的偶函数.当0x时，2log20,21)(16xxxxfx．若关于x的方程2[()]()0fxafxb(R)ab、有且只有7个不同实数根，则P.F.Productions后期制作(理)实数a的取值范围是．二．选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知Rab、，且0ab，则下列结论恒成立的是[答]()．A．abba2B．2abbaC．2||abbaD．222abab16．已知空间直线l不在平面内，则“直线l上有两个点到平面的距离相等”是“||l”的[答]()．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件17．已知22R,0abab、，则直线0byaxl：与圆：022byaxyx的位置关系是[答]()．A．相交B．相切C．相离D．不能确定18．(理)给出下列命题：(1)已知事件BA、是互斥事件，若35.0)(,25.0)(BPAP，则60.0)(BAP；(2)已知事件BA、是互相独立事件，若60.0)(,15.0)(BPAP，则51.0)(BAP(A表示事件A的对立事件)；P.F.Productions后期制作(3)183)1(xx的二项展开式中，共有4个有理项．则其中真命题的小水序号是[答]()．A．(1)、(2)．B．(1)、(3)．C．(2)、(3)．D．(1)、(2)、(3)．3/4第21题图ABCO1C第19题图ＡＣ1B1AＤＢ三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．(理)已知直三棱柱111ABCABC中，0190,2,4ACBACBCAA，D是棱1AA的中点．如图所P.F.Productions后期制作示．(1)求证：1DC平面BCD；(2)求二面角ABDC的大小．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数12cosi,1isin,Rzxzxx．(1)求||21zz的最小值；(2)设21zzz，记zzxf(ImIm)(表示复数z的虚部).将函数)(xf的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移2个单位长度，得到函数)(xg的图像.试求函数)(xg的解析式．P.F.Productions后期制作21．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．某通讯公司小水需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=(13)百米，边界线AC始终过点B，边界线OCOA、满足00075,30,45AOCAOBBOC．设OAx(36x)百米，OCy百米.(1)试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；(2)当x取何值时？整个中转站的占地面积OACS最小，并求出其面积的最小值．4/422．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知数列na满足nnnnnnaaaaa3,)1(,12121221(*Nn)．(1)求753aaa、、的值；(2)求12na(用含n的式子表示)；P.F.Productions后期制作(3)(理)记数列na的前n项和为nS，求nS(用含n的式子表示)．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．(理)已知点),(yxM是平面直角坐标系上的一个动点，点M到直线4x的距离等于点M到点(1,0)D的距离的2倍．记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)斜率为21的直线l与P.F.Productions后期制作曲线C交于BA、两个不同点，若直线l不过点)23,1(P，设直线PBPA、的斜率分别为PBPAkk、，求PBPAkk的数值；(3)试问：是否存在一个定圆N，与以动点M为圆心，以MD为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．5/4第19题图ＡO(Ｃ)1B1AＤＢxyz1C参考答案和评分标准(2014年4月10日)一、填空题1．(1,1)-；8．6p；P.F.Productions后期制作2．p；9．2,2ab=-=；3．4a-；10．100p；4．2；11．(理)4；5．[1,)+?；12．(理)111(2,1)(0,R)ttt?刮；6．1()(0)fxxx-=--?；13．(理)32；7．2log3x=；14．(理)524a--．二、选择题：15．C16．B17．B18．D三、解答题19．本题满分12分．(理)证明(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点(0,0,0)C、(2,0,0)A、(0,2,0)B、(2,0,2)D、1(2,0,4)A、1(0,0,4)C．于是，1(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2)DCDCDB．可算得110,0DCDCDCDB．因此，11,DCDCDCDB．又DCDBD，所以，1DCBDC平面．(2)设(,,)nxyz是平面ABD的法向量．∴0,0.nABnAD又(2,2,0),(0,0,2)ABAD，6/4∴220,20.xyz取1y，可得1,1,0.xyz即平面ABD的一个法向量是(1,1,0)n．由(1)知，1DC是平面DBC的一个法向量，记n与1DC的夹角为，则111cos2||||nDCnDC，23．结合三棱柱可知，二面角ABDC是锐角，∴所求二面角ABDC的大小是3．P.F.Productions后期制作20．本题满分14分解(1)∵12cosi,1isin,Rzxzxx，∴2212||(cos1)(1sin)zzxx322sin()4x.∴当sin()14x，即2(Z)4xkk时，12min||322(21)zz.(2)∵12zzz，∴12sincos(1sincos)izzzxxxx.∴1()1sincos1sin2(R)2fxxxxx.将函数)(xf的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对应的函数是111sin2yx.把函数11sin2yx的图像向右平移2个单位长度，得到的图像对应的函数是211sin()22yx．∴11()1sin()1cos(R)222gxxxx.21．本题满分12分．7/4解(1)结合图形可知，BOCAOBAOCSSS．于是，000111(13)sin30(13)sin45sin75222xyxy，解得2(36)2xyxx．P.F.Productions后期制作(2)由(1)知，2(36)2xyxx，因此，20113sin75242AOCxSxyx134[(2)4]42xx223(当且仅当422xx，即4x时，等号成立)．答：当400x米时，整个中转站的占地面积OACS最小，最小面积是4(223)10平方米.12分22．本题满分18分．解(1)nnnnnnaaaaa3,)1(,12121221(*Nn)，1211324325465376(1)0,33,14,313,112,339.aaaaaaaaaaaa(2)由题知，有*21213(1)(N)nnnnaan．112123222325121121211225311313(1)3(1)(333)[(1)(1)(1)]3(1)3(1)nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa．8/4∴*213(1)1(N)2nnnan．(理)(3)∵*213(1)1(N)2nnnan，∴*23(1)1(N)2nnnan．∴21232nnnaa．又1231nnnSaaaaa，01当n为偶数时，12341()()()nnnSaaaaaa122(32)(32)(32)n233322nn．P.F.Productions后期制作02当n为奇数时，123421()()()nnnnSaaaaaaa111221223(1)(32)(32)(32)12nnn11223(1)322nnn．综上，有2*1122333,22(N)3(1)3.22nnnnnnSnnn为偶数为奇数23．本题满分18分．(理)解(1)由题知，有22|4|2(1)xxy.化简，得曲线C的方程：22143xy．(2)∵直线l的斜率为12，且不过3(1,)2P点，9/4∴可设直线l：1(1)2yxmm且．联立方程组221,431.2xyyxm