【课堂新坐标,同步教学参考】2013-2014学年高中北师大版数学必修五第一章课时作业8]

课时作业(八)一、选择题1．若等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为()A．1B．－2C．2或－1D．－2或1【解析】由题意知，S3＝3a1，当q＝1时，S3＝3a1有解，∴公比为1，符合题意．当q≠1时，有a1（1－q3）1－q＝3a1⇒q＝－2.故选D.【答案】D2．(2013·郑州高二检测)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158【解析】由题意易知q≠1，则9（1－q3）1－q＝1－q61－q，解得q＝2，数列{1an}是以1为首项，以12为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝3116.【答案】C3．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝()A．33B．72C．84D．189【解析】由a1＋a2＋a3＝21，得a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴q2＋q－6＝0，解得q＝2或－3(舍去)，∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝4×21＝84.【答案】C4．(2013·吉林高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝10，S10＝50，则S15等于()A．150B．170C．190D．210【解析】因为S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列，所以(S10－S5)2＝S5·(S15－S10)，即402＝10×(S15－50)，所以S15＝210.【答案】D5．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于()A．－4B．－1C．0D．1【解析】当n＝1时，a1＝4＋a.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－4n－1＝3·4n－1.当n＝1时，4＋a＝3，∴a＝－1.【答案】B二、填空题6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．【解析】由a5a1＝q4＝16，∴q＝±2.又∵q0，∴q＝2，∴S7＝a1（1－q7）1－q＝1－271－2＝127.【答案】1277．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________．【解析】由8a2＋a5＝0，∴a5a2＝－8，即q3＝－8，q＝－2.∴S5S2＝a1（1－q5）1－qa1（1－q2）1－q＝1－q51－q2＝33－3＝－11.【答案】－118．(2012·浙江高考)设公比为q(q0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.【解析】法一S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得2q2－q－3＝0，解得q＝32(q＝－1不合题意，舍去)．法二设等比数列{an}的首项为a1，由S2＝3a2＋2，得a1(1＋q)＝3a1q＋2.①由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．∵q0，∴q＝32.【答案】32三、解答题9．已知数列{an}的通项公式an＝(－a)n－1(a≠0)，求这个数列的前n项和．【解】∵an＋1an＝（－a）n（－a）n－1＝－a，∴{an}是首项为1，公比为－a的等比数列，当a＝－1时，Sn＝n；当a≠－1时，Sn＝1－（－a）n1－（－a）＝1－（－a）n1＋a.10．等比数列{an}的前n项和为Sn，首项为2，若S3＋S6＝S9，求S15的值．【解】①当q＝1时，Sn＝na1＝2n，满足S3＋S6＝S9，∴S15＝30.②当q≠1时，由S3＋S6＝S9，∴2（1－q3）1－q＋2（1－q6）1－q＝2（1－q9）1－q，∴(q3－1)(q6－1)＝0，∴q＝－1，∴S15＝2[1－（－1）15]1－（－1）＝2.11．(2013·烟台高二检测)设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝2－2Sn；数列{an}为等差数列，且a5＝14，a7＝20.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若cn＝an·bn(n＝1，2，3…)，Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn.【解】(1)由bn＝2－2Sn，令n＝1，则b1＝2－2S1，又S1＝b1，所以b1＝23.当n≥2时，由bn＝2－2Sn，可得bn－bn－1＝－2(Sn－Sn－1)＝－2bn，即bnbn－1＝13.所以{bn}是以b1＝23为首项，13为公比的等比数列，于是bn＝2·13n.(2)数列{an}为等差数列，公差d＝12(a7－a5)＝3，可得an＝3n－1.从而cn＝an·bn＝2(3n－1)·13n，∴Tn＝2[2·13＋5·132＋8·133＋…(3n－1)·13n]，13Tn＝2[2·132＋5·133＋…＋(3n－4)·13n＋(3n－1)·13n＋1]．∴23Tn＝2[2·13＋3·132＋3·133＋…＋3·13n－(3n－1)·13n＋1]．Tn＝72－12·3n－2－3n－13n.