一类含有分数阶导数的参数激励振动问题

2一类含有分数阶导数的参数激励振动问题葛志新1,陈咸奖2(1.安徽工业大学数理学院,安徽马鞍山243002;2.安徽工业大学商学院,安徽马鞍山243002)摘要:研究了一类具有分数阶导数阻尼的参数激励振动问题.首先对含有由Riemann-Liouville定义的分数阶导数的Mathieu振动方程构造渐近解,利用多重尺度法,在激励参数取不同值的情况下,求得渐近解,得到分数阶指数对解的影响.关键词:多重尺度;分数阶导数;参数激励;过渡曲线中图分类号:O175.14文献标识码:A文章编号:1引言振动现象是生活中常见的现象,也是学术界研究的热点话题[1]−[11],如Nayfeh在[1]中讨论的自由振动、非齐次项激励和参数激励下的各种受迫振动问题的渐近解及共振情况,刘灿昌等在[2]中讨论的参数激励非线性振动时滞反馈最优化控制振动问题的稳定性等.他们讨论的问题的导数都用整数阶导数描述.随着数学的发展,分数阶导数逐渐进入学者们的视野,学者们发现分数阶导数更能准确描述记忆性材料的导数特性.学者们开始研究具有分数阶导数阻尼的振动情况[3]−[11],如[6]-[11]是研究非齐次项激励的振动问题.学者们对用分数阶导数描述外阻尼的参数激励的振动问题研究较少[3,4,5],且在[3,4,5]中使用谐波平衡法对分数阶阻尼Mathieu方程进行研究的.本文将在[1]−[15]的基础上研究含有参数激励的分数阶导数振动问题,对用分数阶导数来描述阻尼的Mathieu方程的解用多重尺度法求得渐近解,并研究分数阶导数对解的影响.考虑d2udαudt2+(δ+εcosnt)u+εdtα=0,(1)其中δ是激励参数,0ε≪1,0α1,n是大于1的正整数.2第一种情况:√δ不接近于n引入多重尺度T0=t,T1=εt,则d∗收稿日期XXXX-XX-XXdt=D0+εD1+···,(2)基金项目国家自然科学基金(31300125)第一作者葛志新,女,硕士,实验师,1970年10月生,邮箱:[e-mail]通信作者陈咸奖,男,硕士,副教授,1970年7月生,邮箱:[e-mail]1∂TD20πα∂Tπω1παdπd22其中Dn=∂.ndt2=D0+2εD0D1+···,(3)设u(t)=u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)+···.(4)我们把(2)-(4)代入到(1)中,得(D2+2εD0D1)(u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)+···)+εRDα(u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)+···)+00(δ+εcosnt)(u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)+···)=0.(5)令式(5)中ε同次幂相等,得0u0+δu0=0,D2Rα所以其中ω=√δ.0u1+δu1+2D0D1u0+0DT0u0+u0cosnt=0.u0=A(T1)eiωT0+A¯(T1)e−iωT0,利用分数阶倒数Riemann-Liouville定义及性质[4],我们可得Rα1∫T0−α0DT0u0=Γ(1−α)dT(t−τ)u0(τ)dτ=ωαA(T1)ei(ωT0+2)+cc.这里cc是其前面项的共轭复数项.又这里A˙=∂A.且1D0D1u0=ωA˙(T1)ei(2+ωT0)+cc,1u0cosnt=2A(T1)e这里cosnt=cosnT0.所以i(ωT0+nT0)1+A(T1)e2i(ωT0−nT0)+cc,D22αi(ωT0+πα)˙π00u1+ωu1=−[ω1A(T1)e1+2ωA(T1)ei(+ωT)+A(T1)ei(ωT0+nT0)+2A¯(T1)ei(−ωT0+nT0)+cc].(6)2当不接近于n2时,消去(6)式中长期项,令ωαA(T1)ei(2)+2ωA˙(T)ei2=0,且A(T1)=ρeiθ,则παπωαρei(2+θ)+2ω(ρ˙+iρθ˙)ei(2+θ)=0.(7)202−T2121把(7)式化简,得ωαρcosπα+iωαρsinπα+2ωiρ˙−2ωρθ˙=0.(8)2把(8)式虚实部分开,并化简得2θ˙=ωα−1cosπα,(9)2ρ˙ωα−1sinπα=2.(10)ρ2由(9)(10)得当ω,α为定义域内常数时,ρ是指数性衰减,运动是有界的.原问题的渐近解可表示为u(t)=A(T1)eiωT0+A¯(T1)e−iωT0+O(ε)=ρei(θ+ωT0)+ρe−i(θ+ωT0)+O(ε)=2ρcos(θ+ωt)+O(ε),其中παθ=ωα−1T1cos2+C1,ρ=C2e−ωα−1sinπα221,这里C1,C2由初值决定.我们可以发现α对原问题的影响在振幅与频率上,振幅变化规律如图1,且当α一定时,振幅指数性衰减.我们因此可以得到在一定的条件下u的变化曲线,如图2.y2.01.81.61.4u2.01.51.00.5tΑ–0.5–1.0图1T1=1,ω=图2当α=1,ω=3,θ(0)=0,ρ(0)=1时,y∼α曲线,这里y是u(t)的振幅3第二种情况:√δ≈n3,ε=0.1,θ(0)=0,ρ(0)=1时,u∼t曲线当√δ≈n时,引入ω=√δ=n+εω1.为了消去长期项令22παπ1ωαA(T1)ei(2)+2ωA˙(T1)ei2+设A(T1)=ρeiθ,则我们得到A¯(T1)e−2iω1T1=0,(11)2παπ1化简得ωαρei(2+θ)+2ω(ρ˙+iρθ˙)ei(2+θ)+ρe−i(θ+2ω1T1)=0.2παπ1ωαρei2+2ω(ρ˙+iρθ˙)ei2+ρe−i(2θ+2ω1T1)=0.(12)20.20.40.60.81.010203040500.20.40.60.81.−22dχ+ln|c|.2−我们把(12)式虚实部分开,得ωαρcosπα−2ωρθ˙+1ρcos(2θ+2ωT)=0,(13)2211ωαρsinπα+2ωρ˙−1ρsin(2θ+2ωT)=0.(14)2211令χ=2θ+2ω1T1,则(13)(14)转化为ωχ˙=ωαcosπα+1cosχ+2ωω,(15)221由(15)(16)得2ωρ˙ρπα=ωαsin21+sinχ.(16)22ρ˙ρ(ωαsinπα+1sinχ)χ˙=22,ωαcosπα+1cosχ+2ω1ω即ln(ρ2)=−ln|ωαcosπα1+222cosχ+2ω1ω|+2∫(−ωαsinπα+ωαcosπα+2ω1ω)ωαcosπα+1cosχ+2ω1ω可以发现过渡曲线由下式决定,为22ωαcosπα+2ωω=±1.若ω≈1,则2121cosπα因此ω1随α的增大而增大,如图3.ω1=±4−2.Ω10.2Α–0.20–0.4–0.6图3所以过渡曲线为1cosπα11πα2222δ=(1±4−ε+···)=(1±4)−(1±4)cosε+O(ε)2+···.α对过渡曲线的影响在ε项上,并且过渡曲线随着α的增大而向右移,如图4,5.2πα2∆∆1.41.21.00.8Α0.20.40.60.81.01.41.21.00.8Α0.20.40.60.81.0图4当ε=0.1时,δ∼α曲线图5当ε=0.01时,δ∼α曲线为了研究渐近解,引入变换A=Be−iω1T1,并代入(11),得παππ1ωαBei(2)+2ωB˙ei2−2iωω1Bei2+令B=Br+iBi,则(17)可转化为B¯=0.(17)2παωαBrcos2παωαBrsin2πα−ωαBisinπα+ωαBicos2−2ωB˙i+2ωω1Br++2ωB˙r+2ωω1Bi−12Br=0,(18)12Bi=0.(19)寻找(18)(19)的形如Br=breγ1T1,Bi=bieγ1T1的解.把Br=breγ1T1,Bi=bieγ1T1代入(18)(19),得ωαbrcos−ωαbisinbr=0,(20)ωαbrsin+ωαbicosbi=0.(21)求(20)(21)的非零解.由(20)(21)关于未知数br,bi的系数行列式为0,得πα(ωαcos2从而1+2ωω1)2+4=(ωαsinπα2+2ωγ1)2.√1±4−(ωαcos2+2ωω1)2−ωsinπα把(22)代入(20)得γ1=.(22)2ωωαsinπα+2ωγ1br=2bi,ωαcosπα+2ωω1+122即√1πα±br=4−(ωαcos2+2ωω1)2bi.(23)ωαcosπα+2ωω1+122把(23)及变换A=Be−iω1T1,B=Br+iBi,Br=breγ1T1,Bi=bieγ1T1代入(4),得u=(Br+iBi)ei(ωT0−ω1T1)+(Br−iBi)e−i(ωT0−ω1T1)+···,即nnu=(Br+iBi)ei2t+(Br−iBi)e−i2t+···,2−απαπα122−2ωγ1bi+2ωω1br+2παπα122+2γ1ωbr+2ωω1bi−20.20.40.60.81.22cos2,T1απα1απα1απα1απα−即nnu=2Brcos2t−2Bisin2t+O(ε)···.从而得到u的近似表达式,即√1πα2πα√2εt(4−(ωαcos2+2ωω1)−ωαsin2)4−(ωcos2+2ωω1)nnu=a1e2ω(ωαcosπα+2ωω1+1cos2t−sin2t)22√1πα2πα√2εt(−4−(ωαcos2+2ωω1)−ωαsin2)−4−(ωcos2+2ωω1)nn+a2e2ω(ωαcosπα+2ωω1+1cos2t−sin2t)+O(ε)+···.22这里a1,a2由初始条件确定.由解可知α对解的影响在振幅上.令√1πα2παεt(4−(ωαcos2+2ωω1)−ωαsin2)ρ1=e2ω,√1πα2πα√2εt(4−(ωαcos2+2ωω1)−ωαsin2)4−(ωcos2+2ωω1)ρ2=e2ω,ωα√1πα2παεt(−4−(ωαcos2+2ωω1)−ωαsin2)ρ3=e2ω,√1πα2πα√2εt(−4−(ωαcos2+2ωω1)−ωαsin2)4−(ωcos2+2ωω1)ρ4=e2ω[],ωα可得到一定条件下α对ρi(i=1,2,3,4)的影响,如图6,7;同时我们也能得到u的曲线图,如图8.Ρ1.21.00.8Α0.20.40.60.81.0Ρ0.60.40.2–0.2–0.4u42t0Α–20–4图6当εt=1,n=cosπα2,ω≈1,ω1=−2图7当εt=1,n=cosπα2,ω≈1,ω1=−2图8当ε=0.1,n=2,ω≈1,ω1=πα时,ρ1∼α,ρ3∼α曲时,ρ2∼α,ρ4∼α曲−,α=1,u(0)=22线线0.5,u′(0)=−0.5时,u(t)∼t曲线4结论通过以上研究,我们可以得到用分数阶导数表示阻尼的Mathieu方程的渐近解.当√δ不接近于n时2u(t)=2ρcos(θ+ωt)+O(ε),其中παθ=ωα−1T1cos2+C1,ρ=C2e−ωα−1sinπα221,204060801021απα1απα这里ω=√δ,且C1,C2由初值决定,分数阶指数对解的振幅与频率都有影响,并且振幅是指数型衰减的;当√δ≈n时,√1πα2πα√2εt(4−(ωαcos2+2ωω1)−ωαsin2)4−(ωcos2+2ωω1)nnu=a1e2ω(ωαcosπα+2ωω1+1cos2t−sin2t)22√1πα2πα√2εt(−4−(ωαcos2+2ωω1)−ωαsin2)−4−(ωcos2+2ωω1)nn+a2e2ω(ωαcosπα+2ωω1+1cos2t−sin2t)+O(ε)+···,22这里a1,a2由初始条件决定,分数阶指数只对解的振幅有影响,振幅指数型增大.通过对含有分数阶导数的Mathieu振动方程解析渐近解的研究,我们明确了该方程的振动规律包括周期、振幅、频率.这个研究为我们进一步研究含有分数阶导数的Mathieu振动方程其他性质,如稳定性、极限环、分叉等提供了依据.参考文献[1]NayfehA.H.Introductiontoperturbationtechniques[M].Shanghai:ShanghaiTra