《计算机数学基础》数值分析期末复习提纲(9-11章)

1《计算机数学基础》数值分析期末复习提纲（9-11章）中央电大数理教研室《计算机数学基础》数值分析部分是中央广播电视大学本科开放教育计算机科学与技术专业学生必修的一门专业基础课程，使用教材是任现淼主编、吴裕树副主编的《计算机数学基础(下册)数值分析与组合数学》(中央电大出版社出版)。期末考试全国统一命题。一、期末考试试题期末考试的试卷有单项选择题、填空题和解答题。单项选择题和填空题各5个题，分数约占30％。解答题共5个题，包括计算题、化简题和证明题等，分数约占70％。各章分数的分布为第9章约6分，第10～14各章有选择题、填空题和解答题，分数分配大致与所用课时成比例。期末考试的内容和要求以中央电大编发的《计算机数学基础(下)数值分析部分考核说明》为准。主要考核基本概念、基本原理和基本运算。可以带简易计算器。二、考核知识点、要求、例题与参考练习题以下分章给出期末考试的考核知识点、复习要求、例题与参考练习题，供期末复习和考试参考。第9章数值分析中的误差(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。(二)复习要求1.知道产生误差的主要来源。2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。3.知道四则运算中的误差传播公式。(三)例题例1指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004－0.002009000.00解因为x1=2.0004＝0.20004×101,绝对误差限0.00005=0.5×101―5，即m=1,l=5,故x=2.0004有5位有效数字.相对误差限025000.01022115rx2=－0.00200，绝对误差限0.000005，3位有效数字。相对误差限r=5002.01022113x3=9000.00，绝对误差限0.005，6位有效数字，相对误差限为r=1610921=0.00000056例2ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x1,x2满足001.021xx，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足001.021xx，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。故ln20.693。(四)参考练习题:练习9.1：(B)4，6，9；练习9.2：(B)2；习题9：1第10章线性方程组的数值解法(一)考核知识点2高斯顺序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯――赛德尔迭代法，超松弛迭代法；消去法消元能进行到底的条件，迭代解数列收敛的条件。(二)复习要求1.知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。2.掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法。3.知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，知道迭代解数列收敛概念和上述两种迭代法的收敛性的充分条件。(二)例题例1用顺序消去法解线性方程组xxxxxxxxx解顺序消元......]bA[).()()()(rrrrrrr于是有同解方程组：xxxxxx..回代得解：x3=－1,x2=1,x1=1。原线性方程组的解为X＝(1,1,－1)T。例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组xxxxxxxxx解建立迭代公式5)(23)(1)22()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx(k=1,2,3,…)第1次迭代,k=0，X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)T,第2次迭代，k=1，)()()()()()(xxx，得到X(2)＝(5,－3,－3)T第3次迭代，k=2，15)35(213)35(11)3(2)3(2()3(3)3(2)3(1xxx，得到X(3)＝(1,1,1)T第4次迭代，k=3，3)()()()()()(xxx，得到X(4)＝(1,1,1)T例3填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组xxxxxxxx作第1次消元后的第2，3个方程分别为。解答1.选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到....xxxx是应填写的内容。2.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组xxxxxxxxx的迭代格式中)(kx＝(k=0,1,2,…)解答高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。答案是：)()(kkxx3.当a()时，线性方程组...axxxxxxxxx的迭代解一定收敛。(A)6(B)=6(C)6(D)6解答：当a6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6，迭代解一定收敛。应选择(A)。(四)参考练习题:练习10.1(A):：1,3；(B)1,2；练习10.3(A)：2；(B)1,2；习题10：1,8第11章函数插值与最小二乘拟合(一)考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数，样条函数，三次样条插值函数；最小二乘法，法方程组，线性拟合、二次拟合、指数拟合。(二)复习要求1.了解插值函数，插值节点等概念。2.熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。3.掌握牛顿插值多项式的公式，了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。4.掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。5.知道三次样条插值函数的概念，会求简单的三次样条插值函数。6.了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，掌握法方程组的求法，以及线性拟合和二次多项式拟合的方法，(三)例题例1已知函数y=f(x)的观察数据为4xk－2045yk51－31试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn(x)，并计算f(－1)。解先构造基函数))(())()(())(()(xxxxxxxl))()(())())((())()(()(xxxxxxxl))(())()(()()()(xxxxxxxl)()())()(())(()()(xxxxxxxxl所求三次多项式为P3(x)=30)(kkkxly＝))((xxx＋))()((xxx－))(()(xxx＋)()(xxx＝xxxP3(－1)＝例2已知函数y=f(x)的数据如表中第1，2列。计算它的各阶均差。解依据均差计算公式，结果列表中。kxkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差00.400.4107510.550.578151.1160020.650.696751.168000.2800030.800.888111.275730.358930.1973340.901.201521.384100.433480.213000.03134计算公式为：一阶均差),,,()()(),(kxxxfxfxxfkkkkkk二阶均差),,(),(),(),,(kxxxxfxxfxxxfkkkkkkkkk………例3设nxxxx,...,,,是n+1个互异的插值节点，),...,,,)((nkxlk是拉格朗日插值基函数，证明：nkkxl)(证明Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)＝nkkkxly0)()()()(),()!()()()(xRxPxfxnfxRnnnnn5当f(x)1时,1＝)()!()()()()()(xnfxlxRxPnnkkknn。由于)()(xfn,故有nkkxl)(。例4已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。kxkykkxxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5153155105.5例5选择填空题1.通过四个互异节点的插值多项式P(x),只要满足(),则P(x)是不超过一次的多项式。(A)初始值y0=0(B)一阶均差为0(C)二阶均差为0(D)三阶均差为0解答：因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x－x0)它是不超过一次的多项式。故选择(C)正确。2.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是()(A))()!1()()(1)1(xnfxRnnn(B)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)(C))!1()()()1(nfxRnn(D)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)解答：(A)，(D)。见教材有关公式。(四)参考练习题：练习11.1：(A)5；(B)2，3，5；练习11.2：(A)1,2;(B)2，3，4；练习11.3：(A)1;(B)1,3,4；练习11.4:(A)1,3;(B)1,2；习题11：5(1)(3),6解将kkkyxx,2的计算结果列入表中。因为n=5。a0,a1满足的法方程组是.aaaa解得a0=2.45,a1=1.25。所求拟合直线方程为y=2.45+1.25x