【冲刺高考015高考数学(理)一轮复习课后练习15函数的奇偶性与周期20(7271130)

1．5函数的奇偶性与周期性1.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12解析：由题意得a－1＝－2a且b＝0，故a＝13，a＋b＝13，选B.答案：B2．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A．①③B．②③C．①④D．②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.答案：D3．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝()A.12B.23C.34D．1解析：由题意，得f(－1)＝－f(1)，即－1－1×－1－a＝－131－a，解得a＝12，选A.答案：A4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．－2B．2C．－98D．98解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.故选A.答案：A5．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝__________.解析：由题意，得f(－x)＝f(x)∀x∈R恒成立，即x2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|∀x∈R恒成立．故|x＋a|＝|x－a|∀x∈R恒成立．所以(x＋a)2＝(x－a)2，即4ax＝0对x∈R恒成立．从而a＝0.答案：0判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2－|x|＋1x∈[－1,4]；(2)f(x)＝(x－1)1＋x1－xx∈(－1,1)；(3)f(x)＝1ax－1＋12(a＞0，a≠1)；(4)f(x)＝x1－xx＜0，x1＋xx＞0.解析：(1)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．(2)∵f(x)＝(x－1)1＋x1－x，已知f(x)的定义域为－1＜x＜1，其定义域关于原点对称．又f(－x)＝(－x－1)1－x1＋x＝－(x＋1)1－x1＋x＝－1＋x21－x1＋x＝－1＋x1－x＝－1＋x1－x21－x＝－(1－x)1＋x1－x＝(x－1)1＋x1－x＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为x∈R，且x≠0，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12＝ax1－ax＋12＝－1－ax－11－ax＋12＝－1＋11－ax＋12＝－1ax－1＋12＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)∵f(x)＝x1－xx＜0x1＋xx＞0的定义域关于原点对称，∵当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)．当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．点评：判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f(－x)是否等于±f(x)或判断f(x)±f(－x)是否等于零，或判断fxf－x(f(x)≠0)是否等于±1等．(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)变式探究1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(2)f(x)＝|x－a|(常数a∈R)．解析：(1)∵4－x2≥0，|x＋3|－3≠0⇒－2≤x≤2x≠0且x≠－6，得f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称，∵x＋3＞0，∴原函数化简为f(x)＝4－x2x(－2≤x＜0或0＜x≤2)，∴f(－x)＝4－x2－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；(2)f(x)的定义域为R(很容易看出需要分a＝0和a≠0讨论)，①当a＝0时，f(x)＝|x|，∴f(－x)＝f(x)，∴当a＝0时，f(x)为偶函数；②当a≠0时，∵f(a)＝0，f(－a)＝2|a|，∴f(－a)＋f(a)＝2|a|≠0，∴f(x)不是奇函数，而f(－a)－f(a)＝2|a|≠0，∴f(x)不是偶函数．∴当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数.题型二抽象函数奇偶性的判定例2(2014·衡水调研)已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．解析：(1)显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又∵f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)及f(x)是奇函数，得f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.点评：抽象函数奇偶性的判断方法①利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)、f(x))；②巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；③找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论．变式探究2函数f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠0}，对一切x、y∈R，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)．(1)判断函数的奇偶性，并说明；(2)如果f(4)＝1，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，解不等式f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3.解析：(1)函数f(x)为偶函数．证明：在f(xy)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0，令y＝－1得，f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，因此该函数为偶函数．(2)依题意得：2＝1＋1＝f(4)＋f(4)＝f(16)，3＝1＋2＝f(4)＋f(16)＝f(64)，又∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，∴f[3x＋12x－6]≤f64，3x＋1＞0，2x－6＞0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴3x＋12x－6≤64，3x＋1＞0，2x－6＞0，解得：3＜x≤5，即不等式的解集为：{x|3＜x≤5}.题型三函数奇偶性的应用例3(1)(2014·佛山统考)若函数f(x)＝sinxx＋2x＋a是奇函数，则实数a的值等于______．(2)已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝lnx，则ff1e2的值为()A.1ln2B．－1ln2C．ln2D．－ln2解析：(1)方法一：因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即sin－1a－1＝－sin13a＋1，于是a－1＝3(a＋1)，解得a＝－2，且这时f(x)＝sinxx2－4，容易验证f(x)是奇函数．方法二：∵y＝sinx是奇函数，f(x)是奇函数，∴y＝(x＋2)(x＋a)＝x2＋(2＋a)x＋2a是偶函数，∴2＋a＝0，即a＝－2.(2)由已知可得f1e2＝ln1e2＝－2，所以ff1e2＝f(－2)．又因为f(x)是奇函数，所以ff1e2＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2，故选D.答案：(1)－2(2)D点评：已知函数的奇偶性求解析式中参数值的时候，一般可用两种方法：一是根据奇偶函数的定义，对定义域中所有x的值进行分析求解，另一种是采用取特殊值的办法，尤其是当函数是奇函数且在x＝0处有定义时，可利用f(0)＝0进行求解．变式探究3已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则在R上f(x)的表达式为()A．－x(x－2)B．x(|x|－2)C．|x|(x－2)D．|x|(|x|－2)解析：设x＜0，则－x＞0.∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.∴f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x.x＜0，即f(x)＝x(|x|－2)．故选B.答案：B题型四函数的周期性及其应用例4已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2010)＝__________.答案：12点评：本题已知函数f(x)是抽象函数，所求f(2010)的值与已知函数值的变量相差距离较大，可能与函数的周期性有关，因此可由归纳得出结论求值，需要求出多个函数值才发现规律；也可据递推关系推导出周期函数的结论，进而解决问题．变式探究4已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－fx＋32，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2005)＋f(2006)＝()A．－2B．－1C．0D．1解析：∵f(x)＝－fx＋32＝－－fx＋32＋32＝f(x＋3)，∴f(x)的周期为3.又f(1)＝f(－2＋3)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝2，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋…＋f(2005)＋f(2006)＝f(2005)＋f(2006)＝f(3×668＋1)＋f(3×668＋2)＝f(1)＋f(2)＝－2.故选A.答案：A题型五函数性质的综合应用例5(2014·辽宁质检)已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝2，则f(2011)等于()A．2B．3C．－2D．－3解析：由于函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，所以f(2)＝f(－2)，在f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)中，令x＝－2得f(2)＝f(－2)＋2f(2)，所以f(2)＝0，于是f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期等于4，于是f(2011)＝f(－1)＝f(1)＝2.故选A.答案：A点评：求解这类函数性质的综合问题时，一般是先根据题目条件推出函数的周期，然后利用周期将欲求函数值转化为自变量较小且函数值已知(或解析式已知，或函数值可求)的函数值，其中要注意奇偶性的应用．变式探究5已知偶函数y＝f(x)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列判断：①f(5)＝0；②f(x)在[1,2]上是减函数；③f(x)的图象关于直线x＝1对称；④f(x)在x＝0处取得最大值；⑤f(x)没有最小值．其中正确的判断序号是__________．解析：由f(1－x)＋f(1＋x)＝0可得f(1＋x)＝－f(1－x)，即得f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，从而得函数f(x)是周期为4的函数．令x＝0，可由f(1－x)＋f(1＋x)＝0得f(1)＝0，∴f(5)＝f(1)＝0.又由f(1＋x)＝－f(1－x)可知函数f(1＋x)为奇函数，点(1,0)为函数f(x)的对称中心，即得f(x)在[1,2]上与其在[0,1]上有相同的单调性，而已知偶函数y＝f(x)在区间[－1,0]上单调递增，可得函数f(x)在[1,2]上是减函数．由上面的分析可得函数f(x)在x＝0处取得最大值