【成才之路】2014-2015高中数学人教A版第选修1-1综合素质检测2(7295862)

第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若椭圆x24＋y2m2＝1(m0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m的值为()A．5B．3C．5D．3[答案]D[解析]解法一：由椭圆的焦点在x轴上，可知4m2，∴0m2，故选D.解法二：由题意得4－m2＝1，∴m2＝3，又m0，∴m＝3.2．设P是椭圆x2169＋y225＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于()A．22B．21C．20D．13[答案]A[解析]由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝22.3．3m5是方程x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示的图形为双曲线的()A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件[答案]A[解析]当3m5时，m－50，m2－m－60，∴方程x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线．若方程x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线，则(m－5)(m2－m－6)0，∴m－2或3m5，故选A.4．(2014·江西文，9)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A．x24－y212＝1B．x27－y29＝1C．x28－y28＝1D．x212－y24＝1[答案]A[解析]如图设双曲线的右焦点F，右顶点B，设渐近线OA方程为y＝bax，由题意知，以F为圆心，4为半径的圆过点O，A，∴|FA|＝|FO|＝r＝4.∵AB⊥x轴，A为AB与渐近线y＝bax的交点，∴可求得A点坐标为A(a，b)．∴在Rt△ABO中，|OA|2＝OB2＋AB2＝a2＋b2＝c＝|OF|＝4，∴△OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝23，∴双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.5．双曲线x2a2－y2b2＝1与椭圆x2m2＋y2b2＝1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形[答案]B[解析]双曲线的离心率e1＝a2＋b2a，椭圆的离心率e2＝m2－b2m，由a2＋b2a·m2－b2m＝1得a2＋b2＝m2，故为直角三角形．6．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．至多一个B．2C．1D．0[答案]B[解析]∵直线与圆无交点，∴4m2＋n22，∴m2＋n24，∴点P在⊙O内部，又⊙O在椭圆内部，∴点P在椭圆内部，∴过点P的直线与椭圆有两个交点．7．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48[答案]C[解析]设抛物线为y2＝2px，则焦点Fp2，0，准线x＝－p2，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝12×12×6＝36.8．过点(0,1)与双曲线x2－y2＝1仅有一个公共点的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条[答案]D[解析]过点(0,1)与双曲线x2－y2＝1的两条渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点；过点(0,1)与双曲线相切的直线设为y＝kx＋1，由y＝kx＋1x2－y2＝1，得(1－k2)x2－2kx－2＝0，当1－k2≠0时，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，∴k＝±2，故满足条件的直线有4条．9．(2014·山东省烟台市期末)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则此双曲线的离心率等于()A．2B．3C．6D．9[答案]B[解析]由题意双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝bax，代入抛物线方程y＝x2＋2整理得x2－bax＋2＝0，因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－ba)2－8＝0，即(ba)2＝8，∴此双曲线的离心率e＝ca＝1＋ba2＝1＋8＝3.故选B.10．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64内切，则动圆的圆心P的轨迹是()A．线段B．直线C．圆D．椭圆[答案]D[解析]如下图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A(－3,0)和定圆的圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故选D.11．(2014·陕西工大附中四模)F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支．．．．．分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A．2B．3C．5D．7[答案]D[解析]如图，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，∴|AB|＝|BF1|－|AF1|＝|BF1|－|AF1|＋|AF2|－|BF2|＝(|BF1|－|BF2|)＋(|AF2|－|AF1|)＝4a，∴|BF2|＝4a，|BF1|＝6a，在△BF1F2中，∠ABF2＝60°，由余弦定理，|BF1|2＋|BF2|2－|F1F2|2＝2|BF1|·|BF2|·cos60°，∴36a2＋16a2－4c2＝24a2，∴7a2＝c2，∵e1，∴e＝ca＝7，故选D.12．F是抛物线y2＝2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3,1)是定点，则|PF|＋|PA|的最小值是()A．2B．72C．3D．12[答案]B[解析]如图，|PF|＋|PA|＝|PB|＋|PA|，显然当A、B、P共线时，|PF|＋|PA|取到最小值3－(－12)＝72.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝______.[答案]2[解析]本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系．设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1.|AF|＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1.则AF与x轴垂直，|BF|＝|AF|＝2.14．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．[答案]12[解析]∵AB＝2c＝4，∴c＝2.又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a＝4.∴椭圆离心率为ca＝12.15．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是________．[答案]x22＋y2＝1[解析]∵双曲线2x2－2y2＝1的离心率为2，∴所求椭圆的离心率为22，又焦点为(±1,0)，∴所求椭圆的方程为x22＋y2＝1.16．椭圆的离心率等于33，且与双曲线x216－y29＝1有相同的焦距，则椭圆的标准方程是________．[答案]x275＋y250＝1或y275＋x250＝1[解析]双曲线x216－y29＝1的焦距2c＝10，∴c＝5，又椭圆的离心率e＝5a＝33，∴a＝53，∴a2＝75，b2＝a2－c2＝50，故椭圆的标准方程为x275＋y250＝1或y275＋x250＝1.三、解答题(本题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±x2为渐近线的双曲线．[解析](1)∵双曲线x216－y24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x2a2－y220－a2＝1(20－a20)又点(32，2)在双曲线上，∴18a2－420－a2＝1，解得a2＝12或30(舍去)，∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.(2)椭圆3x2＋13y2＝39可化为x213＋y23＝1，其焦点坐标为(±10，0)，∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)∵双曲线的渐近线为y＝±12x，∴ba＝12，∴b2a2＝c2－a2a2＝10－a2a2＝14，∴a2＝8，b2＝2，即所求的双曲线方程为：x28－y22＝1.18．(本题满分12分)方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范围．[分析]根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程的特点，先将方程化为标准式，得到关于α的关系式，再求α的取值范围．[解析]∵x2sinα－y2cosα＝1，∴x21sinα＋y2－1cosα＝1.又∵此方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴1sinα0－1cosα01sinα－1cosα，即sinα00－cosαsinα，∴2kπ＋π2α2kπ＋3π4(k∈Z)．故所求α的范围为2kπ＋π2，2kπ＋3π4(k∈Z)．19．(本题满分12分)(2014·云南景洪市一中期末)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|.(2)若直线l的斜率为1，求b的值．[解析](1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43.(2)l的方程式为y＝x＋c，其中c＝1－b2设A(x1，y1)，B(x1，y1)，则A、B两点坐标满足方程组y＝x＋c，x2＋y2b2＝1，消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则x1＋x2＝－2c1＋b2，x1x2＝1－2b21＋b2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|即43＝2|x2－x1|.则89＝(x1＋x2)2－4x1x2＝41－b21＋b22－41－2b21＋b2＝8b41＋b2，解得b＝22.20．(本题满分12分)已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(－2,0)、B(2,0)，|AD→|＝2，AC→＝AB→＋AD→，AE→＝12AC→，求点E的轨迹方程．[解析]如图设点E的坐标为(x，y)，∵AE→＝12AC→＝12(AB→＋AD→)，∴由向量加法的平行四边形法则可知，点E为BD的中点，连结OE，又O为AB的中点，∴OE＝12AD＝1.即动点E到定点O的距离为定值1，由圆的定义知，点E的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．[点评]平面向量在解析几何中的应用，是高考考查的重要内容，本题借助于图形，将数与形有机地结合起来，找到了突破口，即点E到定点O的距离等于定值1这一关键，从而求出了动点E的轨迹方程，充分体现了数形结合这一重要思想．21．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．[解析](1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得16b2＝1，∴b＝4，又e＝ca＝35，则a2－b2a2＝925，∴1－16a2＝925，∴a＝5，∴椭圆C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入椭圆方程得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为