【成才之路】2016年春高中数学第2章数列综合素质检测新人教B版必修5

-1-【成才之路】2016年春高中数学第2章数列综合素质检测新人教B版必修5(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．数列1，23，35，47，59，…，的一个通项公式an是()A．an＝n2n＋1B．an＝n2n－1C．an＝n2n－3D．an＝n2n＋3[答案]B[解析]解法一：当n＝1时，a1＝1只有选项B满足，故选B．解法二：数1，23，35，47，59，…，的第n项an的分子是n，分母是2n－1，故选B．2．若等比数列{an}的公比q0，且q≠1，又a10，那么()A．a2＋a6a3＋a5B．a2＋a6a3＋a5C．a2＋a6＝a3＋a5D．a2＋a6与a3＋a5的大小不能确定[答案]B[解析](a2＋a6)－(a3＋a5)＝(a2－a3)－(a5－a6)＝a2(1－q)－a5(1－q)＝(1－q)(a2－a5)＝a1q(1－q)2(1＋q＋q2)．∵q0，且q≠1，又a10，∴(a2＋a6)－(a3＋a5)0.即a2＋a6a3＋a5.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an＝()A．nB．2nC．2n＋1D．n＋1[答案]B[解析]当n＝1时，a1＝S1＝2，排除A，C；当n＝2时，a2＝S2－S1＝6－2＝4，排除D，故选B．4．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋，则S5等于()A．1B．56-2-C．16D．130[答案]B[解析]an＝1nn＋＝1n－1n＋1，∴S5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.5．数列{an}满足a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和Sn最大时，n的值为()A．6B．7C．8D．9[答案]B[解析]∵an＋1＝an－3，∴an＋1－an＝－3(n∈N＋)，故数列{an}是首项为19，公差为－3的等差数列．∴an＝a1＋(n－1)d＝19－3(n－1)＝22－3n.由an＝22－3n0，得n223.∴a70，a80，故当n＝7时，Sn取最大值．6．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()A．1.14aB．1.15aC．11×(1.15－1)aD．10(1.16－1)a[答案]C[解析]设从去年开始，每年产值构成数列为{an}，则a1＝a，an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)，从今年起到第5年是求该数列a2到a6的和，应为S6－a1＝a6－1.1－1－a＝11×(1.15－1)a.7．(2016·潍坊四县市高二期中测试)等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于()A．12B．10C．8D．2＋log35[答案]B[解析]由等比数列的性质可知：a5a6＝a4a7＝a3a8＝…＝a1a10，∴a5a6＋a4a7＝2a1a10＝18，∴a1a10＝9.∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10-3-＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a1a10)5＝10.8．212＋414＋818＋…[phone]等于()A．204610231024B．200710231024C．104711024D．204611024[答案]A[解析]212＋414＋818＋…[phone]＝(2＋4＋8＋…＋1024)＋(12＋14＋18＋…＋11024)＝－2101－2＋12[1－1210]1－12＝211－2＋1－(12)10＝2046＋210－1210＝2046＋10231024＝204610231024.9．正项数列{an}满足a2n＋1＝a2n＋4(n∈N*)，且a1＝1，则a7的值为()A．4B．5C．6D．7[答案]B[解析]∵a2n＋1＝a2n＋4(n∈N*)，∴a2n＋1－a2n＝4，又a1＝1，∴a21＝1.∴数列{a2n}是首项为1，公差为4的等差数列，∴a2n＝1＋4(n－1)＝4n－3.∴a27＝4×7－3＝25，又a70，∴a7＝5.10．若{an}是等差数列，首项a10，a1007＋a10080，a1007·a10080，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是()A．2012B．2013C．2014D．2015[答案]C[解析]∵a1007＋a10080，∴a1＋a20140，∴S2014＝a1＋a201420，∵a1007·a10080，a10，-4-∴a10070，a10080，∴2a1008＝a1＋a20150，∴S2015＝a1＋a201520，故选C．11．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N*)，则f(n)等于()A．27(8n＋1)B．27(8n－1－1)C．27(8n＋3－1)D．27(8n＋4－1)[答案]D[解析]解法一：令n＝0，则f(n)＝2＋24＋27＋210＝2[1－34]1－23＝－841－8＝27(84－1)，对照选项，只有D成立．解法二：数列2,24,27,210，…，23n＋10是以2为首项，8为公比的等比数列，项数为n＋4，∴f(n)＝－8n＋41－8＝27(8n＋4－1)．12．定义：称np1＋p2＋…＋pn为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为12n－1，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝4n－1C．an＝4n－3D．an＝4n－5[答案]C[解析]设数{an}的前n项和为Sn，则由已知得na1＋a2＋…＋an＝nSn＝12n－1，∴Sn＝n(2n－1)＝2n2－n当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3当n＝1时，a1＝S1＝2×12－1＝1适合上式，∴an＝4n－3.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．已知等比数列{an}为递增数列，若a10，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.[答案]2[解析]本题考查了等比数列的通项公式．-5-∵{an}是递增的等比数列，且a10，∴q1，又∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，∵an≠0，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12(舍去)，∴公比q为2.[点评]一定要注意数列{an}是递增数列且a10，则公比q大于1.14．(2014·江西文，13)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．[答案](－1，－78)[解析]本题主要考查等差数列中Sn与an的关系，由题意知a1＝7，且当且仅当n＝8时，Sn取最大值，∴该数列为递减数列且a80，a90，即7＋7d07＋8d0，∴－1d－78，解题本题时要注意当且仅当n＝8时Sn最大．15．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则S9S5＝________.[答案]9[解析]解法一：设等差数列{an}的公差为d，∵a5＝5a3，∴a1＋4d＝5(a1＋2d)，∴a1＝－32d，∴S9S5＝9a1＋12×9×8×d5a1＋12×5×4×d＝－272d＋36d－152d＋10d＝452d52d＝9.解法二：S9S5＝a1＋a92a1＋a52＝9×2a525×2a32＝9a55a3，∵a5＝5a3，∴S9S5＝9a55a3＝9.16．若数列{an}满足a1＝2，an＝1－1an－1，则a2013＝________.[答案]－1[解析]∵a1＝2，an＝1－1an－1，∴a2＝1－1a1＝12，-6-a3＝1－1a2＝－1，a4＝1－1a3＝2，a5＝1－1a4＝12，…∴数列{an}的值呈周期出现，周期为3.∴a2013＝a3＝－1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a3＋b3＝17，T3－S3＝12，求{an}、{bn}的通项公式．[解析]设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.由a3＋b3＝17得1＋2d＋3q2＝17，①由T3－S3＝12得q2＋q－d＝4.②由①、②及q0解得q＝2，d＝2.故所求的通项公式为an＝2n－1，bn＝3×2n－1.18．(本题满分12分)(2014·湖北理，18)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)．化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn60n＋800成立，当an＝4n－2时，Sn＝n[2＋n－2＝2n2，令2n260n＋800，即n2－30n－4000，解得n40或n－10(舍去)．此时存在正整数n，使得Sn60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.19．(本题满分12分)(2015·四川文，16)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；-7-(2)设数列1an的前n项和为Tn，求Tn.[解析](1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故an＝2n.(2)由(1)得1an＝12n，所以Tn＝12＋122＋…＋12n＝121－12n1－12＝1－12n.20．(本题满分12分)(2015·湖北理，18)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.[解析](1)由题意有10a1＋45d＝100a1d＝2，即2a1＋9d＝20a1d＝2，解得a1＝1d＝2或a1＝9d＝29.故an＝2n－1bn＝2n－1或an＝19n＋bn＝9·29n－1.(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，-8-故cn＝2n－12n－1，于是Tn＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n－12n－1，①12Tn＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n－12n，②①－②可得12Tn＝2＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n＝3－2n＋32n，故Tn＝6－2n＋32n－1.21.(本题满分12分)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·4n(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析](1)由题意，得