【论文】浅析初高中数学学习的差异与衔接

1浅析初高中数学学习的差异与衔接李细田（岳阳市岳州中学414100）摘要：在数学课堂教学中，要求我们教师要注重数学知识及数学思想方法的衔接与渗透，并注意让学生在平常的练习和训练中多加以总结和提炼，大胆实践，持之以恒，使学生真正形成良好的思维品质，从而全面提高学生自身的数学素养。关键词：学习差异；知识衔接；数学素养时常听到高一学生家长向笔者诉苦：在初中的时候，自己的小孩数学成绩挺不错的，学得也还轻松，可为什么一进高中孩子学数学就这么困难呢？而老师们直接感受到现在的数学“学困生”一届比一届严重。当然，这样的问题也困惑着我们许多高一学子。对于高一新生来说，开始学高中数学时感觉同初中数学大不一样，好像高中数学与初中数学间有一道鸿沟，其实，这也是很正常的。因为，从初中到高中，学习数学从内容到方法，再到数学思想，确实存在一个台阶（俗称“门槛”），我们的学生如果能够迅速跨过这个“门槛”，学习高中数学就会觉得越学越有兴趣；反之，若是迟迟不能跨越这个“门槛”，我们的学生就会背上沉重的思想包袱，越学越累，越学越苦。为了帮助高一学子降低跨过高中数学学习入门时的这个“门槛”，近年来，笔者在自我教学实践的基础上，现就学生对初高中所学数学存在的知识和学法差异及其如何衔接作了如下初步探索，供各位同仁探讨。一、正确认识初高中数学学习的差异（一）知识内容的差异初中数学知识少、浅，知识面窄，难度容易，而高中数学知识广泛，将初中数学知识进行扩展、引申和推广，是对初中数学知识的完善与深化。如初中学习了用平面图形（三视图）来表示空间几何体，而高中要用既富有立体感又能表达出空间图形各部分的位置关系的平面图形（直观图）来表示空间几何体，并要求能在三维空间中求一些柱（棱柱和圆柱）、台（棱台和圆台）、锥（棱锥和圆锥）、球等几何体的表面积和体积。又如初中学习的“角”的概念只是“0～360”范围内的，而高中将角的概念推广到了任意角，可用任意实数来表示的（包括零角、正角、负角）所有大小角，并将表示角的大小的“角度制”延伸到“弧度制”。2（二）教学方法的差异1.课堂模式的差异初中数学课堂教学相对容量小、知识简单，可通过教师“教慢”的速度，争取让同学们全面理解知识点和解题方法，然后通过大量的课堂内（外）练习与课外指导达到对知识的反复理解，直到学生掌握。而高中生课程多，数学科学习的课时相对减少，因而数学课堂容量增大，学生可自由支配的时间大大减少，教师不能像初中时那样有充足的时间和空间，去监督每个学生的作业和课外练习，也不能像初中那样把知识让每个学生都掌握后再进行新课。此外，高中数学课堂教学中，教师注重构建能为学生主动探究学习与学生小组合作交流互动等基本特征的课堂教学模式。2.学习习惯的差别学生已习惯了“先教后学，先听后练”的学习模式，习惯了过去教材上现成结论和教师“照本宣科”式的说教而忽视自己的主动自学，但高中数学课堂知识面广，注重学生的自学自练与自主学习，教材上的一般结论要求学生通过自我学习、主动研究探索完成，要求学生在课堂学习过程适应“先学后教、先做后听、先练后讲”的学习方式。这样，由于初中时自学数学能力的薄弱，从而一时难以适应高中数学学习所必需的自学习惯与方法。事实上，要让教师全部训练完高考中的习题类型几乎是不可能的。只有通过较少的、较典型的例（习）题的讲解与剖析去融会贯通这一类型的问题。如果不会自学、不靠大量的自学阅读理解，将会使学生失去许多类型习题的求解策略。（三）思维习惯的差异1.思维品质与能力的差别高一新生最需要增强的能力依次为思维能力、计算能力、空间想象能力，而思维能力又是各种能力的核心。初中阶段，学生在思维能力的整体性、概括性与规律性的理解把握尚有一定的欠缺。就几何知识来说，初中学习的只是平面几何，而现在面对的是空间几何，自然针对三维空间就不能进行严格的逻辑思维和判断。再如代数中的运算只习惯于数式的运算，不习惯“数形结合”的向量运算。此外，高中数学知识的多元化和广泛性，因学生在过去思维能力上存在着敏捷性、发散性与创造性的滞后，将会影响学生全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题。2.思维素质与认知的差异初中数学中，题目中的条件和结论采用常数给出的较多，而且答案大多也是常数或定量（值）。学生在分析问题时，大多也习惯于按定量分析问题。这样的求解思路与思维过程，只能片面地、局限性的解决问题。而在高中数学学习中我们将会大量地、广泛地应用代数的可3变性去探索问题的特殊性与普适性。如三角函数里的16个诱导公式中的角既可以看作是特殊角或锐角，还可表示任意角，初学的同学就不好这样去理解。另外，在高中数学学习中，我们不但应会解决某一个具体问题，还要学会通过对变量的剖析，探索解析问题的思维过程和涉及解决问题所用的数学方法和所蕴涵的数学思想。3.思维习惯与创新的差距学生在初中时习惯模仿做题，模仿老师思维推理较多，而高中阶段随着知识的难度加大和知识面的扩展，学生再也不能全部能模仿。试看当下高考数学的考纲，旨在考查学生的思维能力的应变与创新，避免高分低能，避免定势思维，倡导创新思维与创造能力。初中学生大量的模仿给他们带来了消极的思维定势，缺乏思维的逻辑性与严密性、发散性与收敛性、创造性与批判性等良好的思维品质和习惯，对高中学习带来了保守的、僵化的思想，封闭了学生的创新求异与批判反思的思维习惯。如学生在求解“已知集合)3({xxP)(ax＝0，a∈R，}0)1)(4({xxxQ，求QP”这个问题时，大多数同学不会分类讨论（本题应分3a或4a或1a及3a且4a且1a这四种情形分别进行探讨），或分类不全面或重复遗漏，分类讨论很难做到“不漏不重”。二、切实把握初高中数学知识的衔接（一）知识内容的衔接初、高中数学在内容上有许多需要衔接的地方，特别是中考与高考考纲要求上有些脱节的知识内容更应重点进行衔接。因为初中时教师可能因为“中考”的压力，“中考”考什么就教什么，很难完全顾及到学生高中时的再发展；而高中数学教师是按照高中数学教材，甚至是按高考考纲来要求学生的。这样一来，势必在内容上出现许多“真空”——也就是许多内容初中不作要求但高中却做要求；有的内容在初中只作要求了解的，到了高中不但要求理解掌握甚至还要达到灵活运用的程度。这对高中生陡然增加了高度，而我们的高中数学教师大多数情况又是默认为学生已经掌握了这些内容，直接加以运用或提升难度，这也是我们许多学生难以接受的缘故之一。这里略举几个典型素材，务必作为重点加以衔接的知识点：内容之一：“乘法公式”初中只要求掌握“平方差公式”：)(ba)(ba22ba和“完全平方公式”：2)(ba222baba，但对“三数和的完全平方公式”：2)(cba222cbaacbcab222、“立方和（差）公式”：)(ba)(22baba33ba这三组公式在初中已经不作要求，而在高中数学的基本运算中（如等比数列的有关计算），就4需要大量运用到这些公式，进入高一的学生恰恰首先要过的就是“运算关”。内容之二：初中数学要求对一元二次方程能用“因式分解法”（不包括“十字相乘法”：2xxba)(ab))((baba）和“求根公式法”（又称“万能公式”：xaacbb242）求解一元二次方程的根，而对“十字相乘法”及“配方法”初中不要求掌握，但到了高中却要求达到灵活应用。此外，一元二次方程02cbxax)0(a的两根1x、2x与系数a、b、c的关系（即“韦达定理”）：21xxab，21xxac在初中没作要求，而高中在三角函数、二次函数及一元二次不等式等板块内容里却要求学生必须运用和掌握，可见，这些知识点应重点衔接好。内容之三：作二次函数y02cbxax)0(a的图像（抛物线）是初高中学生必备的能力，高中教师对此的期望是很高的，但初中在此的要求并不高，如二次函数与一元二次方程及一元二次不等式（简称“三个二次”）的数学思想是不要求掌握的，显然，这也是初高中知识的一项重要衔接。可以说，从初中到高中，学生普遍认为“函数”这个板块是最难理解难学的内容之一，甚至是谈“函”色变。我们知道，函数的图像分为作图、识图、用图三个层面的要求，而作二次函数的图像又是联系与解决一元二次方程及一元二次不等式问题的“纽带”，是“数形结合”数学思想方法的重要“载体”。如果没有把二次函数这块基本内容衔接好（尤其是对“函数与方程”、“函数与不等式”的数学思想的渗透），那么学生今后的作图能力将是一塌糊涂，从而导致许多学生对高中数学学习产生畏惧心理而信心不足。高中数学必修1模块内容基本上是函数知识（除“集合”这一节基本知识外），函数的内容因其抽象而难于理解不易接受。如果二次函数的图像与性质（包括奇偶性、单调性、最值等）从内容到方法衔接得好的话，无疑能为后继函数（如指数函数、对数函数、幂函数及任意角的三角函数等）学习，乃至为迅速适应高中数学的学习提供了良好的铺垫，也就架起了一座通往高中学习的桥梁。事实上，学生一进入高中，就接触新的函数定义（“映射”的观点），函数的概念因其抽象而难以被接受，这为后继内容的学习会带来较大的困惑和隐患，这应引起老师们的高度重视。2.2数学方法的衔接学生在初中时确实也学习了不少的解题方法（常用的数学方法如公式法、代入法、消元法、换元法、配方法、待定系数法、图像法等），但是，他们掌握的最好的却是较简单的，就5是照搬（套）公式，机械式的模仿，因而一进入高中阶段的数学学习就会明显吃力，甚至渐渐掉队。究其原因，主要是由于学生的解题能力与素质的欠缺，特别是解题的数学思想方法过于粗浅单调，故而难以适应高中的学习。因此，我们在平常的教学中，可以通过改变原题、改造题型等变式训练，采取一题多问、一题多解、一题多变等思维训练，对比分析，强化认识，能起到举一反三、融会贯通的训练效果，克服消极的思维定势，从而有效的培养思维的深刻性和创造性。【例】：已知二次函数的图像经过点Ａ(0，-2)、Ｂ（-1，0）、Ｃ（1，-2）三点，（1）求此二次函数的解析式；（2）画出这个二次函数的图像；（3）指出这个二次函数的顶点坐标、对称轴及最值；（4）根据二次函数的图像回答：①x为何值时，y随x的增大而增大？②x为何值时，y随x的增大而减小？③x为何值时，y＝0？y＞0？y＜0？【题注】：本例“链接”了初中学过的“待定系数法”、“配方法”及“讨论法”等基本数学方法（“待定系数法”是高中数学中一种最常见的数学方法），其中还蕴涵了研究函数性质的“图像法”——所谓“数形结合”的方法，它既是解答本题的关键，也是一种重要的数学思想方法，它包括“以形助数”和“由数辅形”，借助图像的直观，可提高解题能力与素质。同时，本题也较好地衔接了“三个二次”之间内在联系的好题型。（三）数学思想的衔接数学知识是数学思想方法的载体，而数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映。可见，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法而处于更高层次，它是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；在运用数学知识及方法处理数学问题时，它具有指导性的地位。常见的四大数学思想是：函数与方程（不等式）的思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想，这四大数学思想自始至终贯穿于整个中学数学课程的学习中。大家知道，数学教学有两条线，一条是明线即数学知识与方法的教学，一条是暗线即数学思想的渗透。而数学思想是数学的精髓与灵魂，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体。当然，要使学生真正具备个性化的数学思想方法，还要有一个反复训练、不断完善的过程。这就要求我们教师在教学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学之中，使学生真正形成个性的思维6活动，从而全面提高学生自身的数学素养，重视数学思想方法的教学渗透。为此，我们作为数学教师，如何引领学生转化观念与学习方式的责任值得深思：再也不能期待学生习惯于通过大容量、快节奏的“题海战术”，只注重讲事实与解法，单向灌输，不注重数学思想方法（或渗透太少），师生交流不酣