【高三总复习】2013高中数学技能特训2-4指数与指数函数(人教B版)含解析

2-4指数与指数函数基础巩固强化1.(文)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tanaπ6的值为()A．0B.33C.1D.3[答案]D[解析]由点(a,9)在函数y＝3x图象上知3a＝9，即a＝2，所以tanaπ6＝tanπ3＝3.(理)若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2][答案]B[解析]由f(1)＝19得a2＝19，∵a0，∴a＝13，即f(x)＝(13)|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.2．(2012·浙江湖州第二次质检)已知图甲是函数y＝f(x)的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝－f(－|x|)D．y＝f(－|x|)[答案]D[解析]由图乙可知，该函数为偶函数，且x0时，其函数图象与函数f(x)的图象相同，即该函数图象的解析式为y＝fx，x0，f－x，x≥0，即y＝f(－|x|)，故应选D.3．(2012·北京文，5)函数f(x)＝x12－(12)x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]函数f(x)＝x12－(12)x的零点个数即为方程x12＝(12)x的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y＝x12和y＝(12)x的图象，易得交点个数为1个．[点评]本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象．4．(文)三个数P＝(25)－15，Q＝(65)－15，R＝(65)－25的大小顺序是()A．QRPB．RQPC．QPRD．PQR[答案]B[解析]由于当a1时，y＝ax为R上的增函数，故(65)－25(65)－15，则排除A、C、D，选B.对于A选项，∵0a1时，对x0有ax1，但当a1时，对x0，ax1，故(65)－15(25)－15.(理)设a＝120.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a、b、c的大小关系是()A．abcB．abcC．bacD．acb[答案]C[解析]y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，1120.3，∴1ab，又y＝log0.3x在(0，＋∞)上为减函数，∴log0.30.2log0.30.3＝1，即c1，∴bac.5．已知f(x)＝13x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为()A．y＝13xB．y＝131－xC．y＝132＋xD．y＝3x－2[答案]D[解析]设P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，则P关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在函数f(x)的图象上，∴y＝132－x，即g(x)＝3x－2.6．(文)已知函数f(x)＝log2xx0，2xx≤0.若f(a)＝12，则实数a＝()A．－1B.2C．－1或2D．1或－2[答案]C[解析]当a0时，log2a＝12，∴a＝2；当a0时，2a＝12，∴a＝－1，选C.(理)(2013·四川内江市一模)已知a是f(x)＝2x－log13x的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)0B．f(x0)＝0C．f(x0)0D．f(x0)的符号不确定[答案]A[解析]如图，在同一坐标系中，画出函数y＝2x与y＝log13x的图象，其交点P的横坐标为a,0x0a时，2x0log13x0，∴f(x0)0.7．设函数f(x)＝a－|x|(a0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2)与f(1)的大小关系是________．[答案]f(－2)f(1)[解析]由f(2)＝a－2＝4，解得a＝12，∴f(x)＝2|x|，∴f(－2)＝42＝f(1)．8．(2011·厦门质检)方程9x－6·3x－7＝0的解是________．[答案]log37[解析]9x－6·3x－7＝0⇔(3x)2－6·3x－7＝0，∴3x＝7或3x＝－1(舍去)．∴x＝log37.9．(文)已知f(x)＝3ex－1x3，log3x2－6x≥3.则f(f(3))的值为________．[答案]3[解析]f(3)＝log3(32－6)＝1，f(f(3))＝f(1)＝3e1－1＝3.(理)(2012·衡水模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，abc，且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a0，b0，c0;②a0，b≥0，c0；③2－a2c;④2a＋2c2.[答案]④[解析]作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图中实线所示．又abc，且f(a)f(c)f(b)，结合图象知f(a)1，a0，c0，∴02a1，∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，∴f(c)1，∴0c1，∴12c2，f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又f(a)f(c)，即1－2a2c－1，∴2a＋2c2.10．已知函数f(x)＝(23)|x|－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于94，求a的值．[分析]这是一个复合函数判定单调性的问题，解题时先找出构成复合函数的简单函数，分别考虑它们的单调性，再求f(x)的单调区间，最后利用单调性考虑何时取到最大值94，从而建立a的方程求出a.[解析](1)令t＝|x|－a，则f(x)＝(23)t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y＝(23)t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在x＝0处取到最大值，∴f(0)＝(23)－a＝94，∴a＝2.能力拓展提升11.(2011·湖北理，6)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝()A．2B.154C.174D．a2[答案]B[解析]∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2得，f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，解得f(x)＝ax－a－x，g(x)＝2，又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝154.12．(文)已知f(x)＝ax，g(x)＝bx，当f(x1)＝g(x2)＝3时，x1x2，则a与b的大小关系不可能成立．．．．．的是()A．ba1B．a1b0C．0ab1D．b1a0[答案]D[解析]∵f(x1)＝g(x2)＝3，∴ax1＝bx2＝3，∴x1＝loga3，x2＝logb3，当b1a0时，x10，x20不满足x1x2.(理)已知实数a、b满足等式(12)a＝(13)b，下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；④ba0；⑤a＝b，其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]在同一坐标系中作出函数y＝(13)x，y＝(12)x的图象，如图．当x0时，∵(12)a＝(13)b，∴ab0，②成立；当x0时，(12)a＝(13)b，则有0ba，①成立；当x＝0时，(12)a＝(13)b，则有a＝b＝0，⑤成立．故③④不成立，故选B.13．(文)若关于x的方程4x＋(1－a)·2x＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，5]B．[5，＋∞)C．[4，＋∞)D．(－5,5][答案]B[解析]a－1＝2x＋42x≥22x·42x＝4等号在2x＝42x，即x＝1时成立，∴a≥5.(理)(2011·襄阳一调)用min{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()A．7B．6C．5D．4[答案]B[解析]解法1：函数f(x)＝2x0≤x≤2，x＋22x≤4，10－xx4.由于函数在区间[0,2]上单调递增，在区间(2,4]上单调递增，在点x＝2处两段的函数值相等，故函数在区间[0,4]上单调递增，函数在区间(4，＋∞)上单调递减，又在点x＝4处两段上的函数值相等，故x＝4是函数的最大值点，函数的最大值是f(4)＝6.故选B.解法2：画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象如图，根据函数f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}的意义，函数f(x)的图象是由上面三个函数图象位于最下方的图象组成的，观察图象可知，当0≤x≤2时，f(x)＝2x，当2x≤4时，f(x)＝x＋2，当x4时，f(x)＝10－x，f(x)的最大值在x＝4时取得，最大值为6，故选B.14．(2012·杭州第一次质检)若函数f(x)＝1x，x0，2－x，x≥0，则方程f(x)＝12的解集为________．[答案]{1}[解析]方程f(x)＝12可化为，x0，1x＝12，或x≥0，2－x＝12，解之得，x＝1.15．已知函数f(x)＝(13)ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．[解析](1)当a＝－1时，f(x)＝(13)－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝(13)t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝(13)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有a0，12a－164a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.[点评]讨论f(x)＝(13)－x2－4x＋3的单调区间时，可化为f(x)＝3x2＋4x－3讨论，也可利用导数讨论．16．(文)已知f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．[分析](1)判断奇偶性应先求定义域后计算f(－x)，看是否等于f(x)(或－f(x))；(2)可用单调性定义，也可用导数判断f(x)的单调性；(3)b≤f(x)恒成立，只要b≤f(x)min，由f(x)的单调性可求f(x)min.[解析](1)函数定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a1时，a2－10，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．当0a1时，a2－10，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，所以f(x)为增函数．故当a0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，∴f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1.∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1]．(理)已知函数f(x)＝13x，x∈[－1,1]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)；(2)是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①mn3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．[分析](1)由f(x)＝13x的单调性可求出f