一道高考题蕴涵的多种数学处理思想

一道高考题蕴涵的多种数学处理思想对高考题的探索不仅能够更加清晰认识命题人的思想，寻找命题的背景材料，追综索源，还可以开发试题的教学功效，提高教师的专业技能。每一年的高考题其实都蕴涵着丰富的内容。本文拟对2007年重庆卷文科11题的处理思想进行说明，期望能达到抛砖引玉的效果，对同仁有所帮助。该题是：设3b是1a和1a的等比中项，则3ab的最大值为（）（A）1(B)2(C)3(D)4方法一：利用方程思想处理解：令3abm则3amb带入2231ab有22(3)31mbb即22296310mbmbb化简得2212610bmbm此为关于b的一元二次方程，有解故223648(1)0mm即24m所以22m因此3ab的最大值为2说明：将求解的问题转化为方程处理，这是高中数学的一种重要思想方法。方法二：利用三角换元思想处理解：令sina，3cosb即3cos3b（R）带入3ab得3sin3cos2sin()3ab由R有2sin()23所以3ab的最大值为2说明：换元思想的利用往往可以简化问题的结构，降低问题的难度。方法三：利用待定系数思想处理解：由222212121222322(3)(3)33ababab当且仅当12,ab时取等。即12262ab比较1226ab与3ab系数有12所以当12ab时上式不等式取等，将ab带入2231ab得1212ab还原12262ab即32ab取等条件为12ab说明：不等式问题的处理的错误通常在于等号取等条件的把握，等号取不到可能就是系数的原因，于是选择待定系数法。方法四：利用公式法处理解：观察题目结构发现与柯西不等式类似。利用柯西不等式：222111[()]()()nnniiiiiiiabab处理222222(3)(133)[1(3)][3]ababab得2(3)4ab所以232ab即3ab的最大值为2说明：公式法的使用关键是观察问题的结构特征，选择合理的方式构造合理的公式处理。方法五：利用向量思想处理解：构造向量(,3)aab，(1,3)b所以2231aab，2b由cosababab得32abab即3ab的最大值为2方法六：利用函数单调思想处理解：由2231ab知只有0a0b时3ab才可能取最大值。令0b有23(1)3ab所以233(1)abaa设函数2()3(1)fxxx，0x则23()111fxx若()0fx且0x求得231011x的解为12x根据单调性有当12x时2max11()3[1()]222fx，0x所以32ab即3ab的最大值为2说明：知识的前后联系有助于对知识的深刻认识，可以优化思维，培养思维的广阔性、灵活性和深刻性。两种方法都把不等式问题结合起来了。方法七：利用数形结合思想处理解：由2231ab即22113ba令ax，by则22113yx是椭圆，题目变转化为：若直线3txy与椭圆有交点求t的最大值。如图易知直线刚好是椭圆的切线时t取最大、最小值。所以当方程组x+3y=tyx221133yxtxy只有一个解时t取最值。将3xyt带入22113yx得2212610ytyt有两个相等根解。故223648(1)0tt得12t或22t所以3ab的最大值为2。说明：由数到形与由形到数的交替转换，促成了不等式问题的合理解决。方法八：利用等号条件成立猜想处理解：从前面我们已经知道当12ab时3ab取最大值2由111111()3()()()3()()0222222abaabb得32ab即3ab的最大值为2[注]：21111()()()()02222aaaa有111()()()222aaa同理211113()()3()3()02222bbbb有1113()()3()222bbb说明：这种思想方法是在对知识有相当深刻认识的基础上得到。看似简单，其蕴涵的思想却非常丰富。地址：重庆市武隆县武隆中学校高中数学组梁承勇邮编：408500邮箱：[e-mail]