《物理学基本教程》课后答案第六章气体动理论

第六章气体动理论6-1一束分子垂直射向真空室的一平板，设分子束的定向速度为v，单位体积分子数为n，分子的质量为m，求分子与平板碰撞产生的压强．分析器壁单位面积所受的正压力称为气体的压强．由于压强是大量气体分子与器壁碰撞产生的平均效果，所以推导压强公式时，应计算器壁单位面积在单位时间内受到气体分子碰撞的平均冲力．解以面积为S的平板面为底面，取长度等于分子束定向速度v的柱体如图6-1所示，单位时间内与平板碰撞的分子都在此柱体内．柱体内的分子数为nSv．每个分子与平板碰撞时，作用在平板上的冲力为2mv，单位时间内平板所受到的冲力为vvnSmF2根据压强的定义，分子与平板碰撞产生的压强为22vnmSFp6-2一球形容器，直径为2R，内盛理想气体，分子数密度为n，每个分子的质量为m，(1)若某分子速率为vi，与器壁法向成θ角射向器壁进行完全弹性碰撞，问该分子在连续两次碰撞间运动了多长的距离？(2)该分子每秒钟撞击容器多少次？(3)每一次给予器壁的冲量是多大？(4)由上结果导出气体的压强公式．分析任一时刻容器中气体分子的速率各不相同，运动方向也不相同，由于压强是大量气体分子与器壁碰撞产生的平均效果，气体压强公式的推导过程为：首先任意选取某一速率和运动方向的分子，计算单位时间内它与器壁碰撞给予器壁的冲力，再对容器中所有分子统计求和．Sv图6-1解(1)如图6-2所示，速率为vi的分子以θ角与器壁碰撞，因入射角与反射角都相同，连续两次碰撞间运动的距离都是同样的弦长，为cos2RAB(2)该分子每秒钟撞击容器次数为cos2RABiivv(3)每一次撞击给予器壁的冲量为cos2imv(4)该分子每秒钟给予器壁的冲力为RmRmiii2cos2cos2vvv由于结果与该分子的运动方向无关，只与速率有关，因此可得容器中所有分子每秒钟给予器壁的冲量为21212222221vvvvvvvRmNNNRmRmRmRmRmRmNiiNiiNi其中nRN334．根据压强的定义，分子与器壁碰撞产生的压强为WnmnnmRRmNp3221323142222vvv其中W为分子的平均平动动能．6-3容积为10L的容器内有1molCO2气体，其方均根速率为1440km/h，求CO2气体的压强（CO2的摩尔质量为31044kg/mol）．分析在常温常压下可以将气体视为理想气体，理想气体压强公式中引入了统计平均量----方均根速率2v和分子数密度n，1mol的气体中分子数为阿伏AviBm图6-2伽德罗常量NA，根据这些关系可求出压强．解容积为V的容器中有1molCO2气体，则分子总数为NA，摩尔质量为M，则分子数密度为VNA，分子质量为ANM，因此由气体压强公式得22AA2313131vvvVMNMVNnmp代入数字得Pa102.35Pa3600101440101010443131523332vVMp6-4在实验室中能够获得的最佳真空相当于大约Pa10013.19，试问在室温（273K）下在这样的“真空”中每立方厘米内有多少个分子？分析引入玻尔兹曼常量k和分子数密度n后，理想气体状态方程可以表示为nkTp．解由理想气体状态方程nkTp得3-113-239m1069.2m2731038.110013.1kTpn6-5已知气体密度为1kg/m3，压强为Pa10013.15，(1)求气体分子的方均根速率；(2)设气体为氧，求温度．分析气体密度是单位体积中气体的质量，因此与分子数密度n和分子质量m的关系为nm．解压强公式可写为223131vvnmp(1)分子的方均根速率m/s551m/s110013.13352pv(2)氧的摩尔质量M=31032kg/mol，由定义MRT32v，则K390K31.8310325513322RMTv6-6体积为10-3m3，压强为Pa10013.15的气体，所有分子的平均平动动能的总和是多少？分析气体动理论的能量公式给出了微观量气体分子的平均平动动能和宏观量气体温度之间的关系．分子的平均平动动能是大量分子的统计平均值，是每个分子平均占有的平动动能量值．解由气体动理论的能量公式，分子的平均平动动能为kTm23212v容器中分子数nVN，又由压强公式nkTp，可得容器中所有分子的平均平动动能的总和为J152J1010013.123232321352pVkTnVmNv6-7一容器内贮有氧气，其压强为Pa10013.15p，温度T=C27，求(1)单位体积内的分子数；(2)氧气的密度；(3)氧分子的质量；(4)分子间的平均距离；(5)分子的平均平动动能；(6)若容器是边长为0.30m的立方体，当一个分子下降的高度等于容壁的边长时，其重力势能改变多少？并将重力势能的改变与其平均平动动能相比较．分析常温和常压下，氧气可视为理想气体．从宏观的角度，可以认为气体是空间均匀分布的，因此分子间的平均距离的立方就是每个分子平均占有的体积．通过本题的计算，可以得到气体动理论中常用到的物理量的量级概念．解(1)由理想气体的状态方程nkTp，可得单位体积内的分子数为3-253-235m1045.2m3001038.110013.1kTpn(2)利用理想气体的状态方程RTMmpV，氧气的密度为3335kg/m3.1kg/m30031.8103210013.1RTpMVm(3)氧分子的质量为kg105.3kg1045.23.126-25nm(4)分子平均占有的空间开方等于分子间的平均距离m10443m1045.21193253.nd-(5)分子的平均平动动能J10.216J3001038.123232121-232kTmv(6)一个氧分子下降的高度等于容壁的边长时，其重力势能改变为J101.56J30.08.9103.5-2526mgh与分子平均平动动能相比较，有4252121098.31056.11021.621mghmv6-8在什么温度时，气体分子的平均平动动能等于一个电子由静止通过1V电位差的加速作用所得到的动能（即1eV的能量）．解根据题意，气体分子的平均平动动能J10260.1eV12321192kTmv则K7739K1038.1310602.122319T6-91mol氢气，在温度C27时，求(1)具有若干平动动能；(2)具有若干转动动能；(3)温度每升高C1时增加的总动能是多少？分析氢气是双原子分子气体，如果作为刚性分子看待，就具有3个平动自由度和2个转动自由度，根据能量按自由度均分原则可以求出平均平动动能和平均转动动能．解(1)1mol氢气的平动动能为J10.743J30031.82323233ARTkTN(2)1mol氢气的转动动能为J10.492J30031.8223ARTkTN(3)温度每升高C1，1mol氢气增加的总动能为J8.02J131.8252525ATRTkN6-101mol单原子理想气体和1mol双原子理想气体，温度升高C1时，其内能各增加多少？1g氧气和1g氢气温度升高C1时，其内能各增加多少？分析一定量理想气体的内能TRiMmE2，对于单原子理想气体3i，对于双原子理想气体5i，对于1mol理想气体1Mm．氧气和氢气都是双原子气体，氧气的摩尔质量kg/mol10323M．解1mol单原子理想气体温度升高C1，内能增量为J5.12J131.8232TRi1mol双原子理想气体温度升高C1，内能增量为J8.02J131.8252TRi1g氧气温度升高C1，内能增量为J65.0J131.8251032101233TRiMm1g氢气温度升高C1，内能增量为J4.01J131.825102101233TRiMm6-11计算：(1)氧分子在C0时的平均平动动能和平均转动动能；(2)在此温度下，4g氧的内能．分析氧气是双原子分子气体，如果作为刚性分子看待，就具有3个平动自由度和2个转动自由度，5i．解(1)氧分子在C0时的平均平动动能为J10.655J2731038.1232321-23kT平均转动动能为J10.773J2731038.12221-23kTkT(2)4g氧在C0时的内能为J709J27331.8251032104233RTiMm6-12有40个粒子速率分布如下表所示(其中速率单位为m/s)：速率区间100以下100~200200~300300~400400~500500~600600~700700~800800~900900以上粒子数1468654321若以各区间的中值速率标志处于该区间内的粒子速率值，试求这40个粒子的平均速率v、方均根速率2v和最概然速率pv，并计算出pv所在区间的粒子数占总粒子数的百分率．分析为了更深入地理解麦克斯韦速率分布律以及气体动理论中引入的平均速率v、方均根速率2v和最概然速率pv的统计意义，有必要通过实际例子，经过计算，体验速率分布规律和统计方法．解这40个粒子分成了10个速率区间，若取1000m/s为粒子速率在900m/s以上的速率区间的中值速率，则根据定义，其平均速率v为m/s448.75m/s)1100028503750465055506450835062504150150(4011101iiiNNvv方均根速率2v为m/s499.9m/s)]1100028503750465055506450835062504150150(401[121222222222210122iiiNNvv最概然速率m/s350pv．pv所在区间的粒子数占总粒子数的百分率为%20%100408pNN6-13上题所给分布情况，若以200m/s为间隔作重新统计，列出分布情况表，计算出相应的v、2v和pv，以及pv所在区间的粒子数占总粒子数的百分率，并与上题结果进行比较．分析通过本题和上题计算结果可以看出，在某一速率区间中的分子数和所计算的三种速率不但与速率区间位置有关，还与速率区间的宽度有关．只有当所统计的分子总数足够大，划分的速率区间足够小时，才可能获得处于平衡状态的气体分子速率的一个确定的分布函数，三种速率也才有确定值．解以200m/s为间隔对上题粒子速率作重新统计，速率分布情况为(其中速率单位为m/s)：速率区间200以下200~400400~600600~800800以上粒子数5141173这40个粒子分成了5个速率区间，若取900m/s为粒子速率在800m/s以上的速率区间的中值速率，则根据定义，其平均速率v为m/s445m/s)3900770011500143005100(401151iiiNNvv方均根速率2v为498m/sm/s)]3900770011500143005100(401[121222225122iiiNNvv最概然速率m/s300pv．pv所在区间的粒子数占总粒子数的百分率为%35%1004014pNN6-14N个假想的气体分子，速率分布如图6-14所示．(1)用N和v0表示出a的值；(2)求最概然速率pv；(3)以v0为间隔等分为三个速率区间求各区间中分子数占总分子数的百分率．分析速率分布函数)(vf表示气体分子速率在v值附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分率．本题给出了一个特殊的分布情况，通过计算，理解速率分布函数和最概然速率的物理意义，以及各速率区间中分子数占总分