《状元之路》2014届高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练2-1

高考专题训练时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知sinα＝23，α∈π2，3π2，则cos(π－α)等于()[来源:Zxxk.Com]A．－53B．－19C.19D.53解析∵sinα＝23，α∈π2，3π2，∴cosα＝－53.[来源:学科网]∴cos(π－α)＝－cosα＝53，故选D.答案D2．将函数y＝cos2x的图象向右平移π4个单位，得到函数y＝f(x)·sinx的图象，则f(x)的表达式可以是()A．f(x)＝－2cosxB．f(x)＝2cosxC．f(x)＝22sin2xD．f(x)＝22(sin2x＋cos2x)解析函数y＝cos2x的图象向右平移π4个单位后得到y＝cos2x－π4＝cos2x－π2＝sin2x＝2sinxcosx.故f(x)可以为2cosx.选B.答案B3．下列函数中周期为π且为偶函数的是()A．y＝sin2x－π2B．y＝cos2x－π2C．y＝sinx＋π2D．y＝cosx＋π2解析由周期为π知ω＝2，排除C、D.由诱导公式知，A选项中，得y＝－cos2x，为偶函数．答案A4．把函数y＝sinx＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为()A．x＝－π2B．x＝－π4C．x＝π8D．x＝π4解析y＝sinx＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x＋π6的图象，再将图象向右平移π3个单位，得到函数y＝sin2·x－π3＋π6＝sin2x－π2的图象，x＝－π2是其图象的一条对称轴方程．答案A5．(2013·山东卷)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()A.3π4B.π4C．0D．－π4解析y＝sin(2x＋φ)向左平移π8个单位后得图象的解析式为y＝sin2x＋π4＋φ为偶函数，故π4＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，φ＝π4＋kπ(k∈Z)．答案B6．(2013·安徽黄山高三联考)设函数f(x)＝3cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)|φ|π2，且其图象关于直线x＝0对称，则()A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在0，π2上为增函数B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在0，π2上为减函数C．y＝f(x)的最小正周期为π2，且在0，π4上为增函数D．y＝f(x)的最小正周期为π2，且在0，π4上为减函数解析f(x)＝3cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)＝2sin2x＋π3＋φ，∵其图象关于x＝0对称，∴f(x)是偶函数．∴π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z.又∵|φ|π2，∴φ＝π6.∴f(x)＝2sin2x＋π3＋π6＝2cos2x.易知f(x)的最小正周期为π，在0，π2上为减函数．答案B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．若sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sin(θ－5π)sin3π2－θ＝________.解析由已知得tanθ＋1tanθ－1＝2，∴tanθ＝3.∴sin(θ－5π)·sin3π2－θ＝sinθcosθ＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tanθtan2θ＋1＝310.答案3108．(2013·江西卷)函数y＝sin2x＋23sin2x的最小正周期T为________．解析y＝sin2x＋23sin2x＝sin2x－3cos2x＋3＝2sin2x－π3＋3，所以周期T＝2π2＝π.答案π9．函数y＝sin(ωx＋φ)ω0且|φ|π2在区间π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为________．解析因为函数的最大值为1，最小值为－1，且在区间π6，2π3上单调递减，又函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT＝2ππ＝2，此时原式为y＝sin(2x＋φ)，又由函数过π6，1点，代入可得φ＝π6，因此函数y＝sin2x＋π6，令x＝0，可得y＝12.答案12三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·天津卷)已知函数f(x)＝－2sin2x＋π4＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；[来源:Z§xx§k.Com](2)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．解(1)f(x)＝－2sin2x·cosπ4－2cos2x·sinπ4＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝22sin2x－π4.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间0，3π8上是增函数，在区间3π8，π2上是减函数，又f(0)＝－2，f3π8＝22，fπ2＝2，故函数f(x)在区间0，π2上的最大值为22，最小值为－2.11．(本小题10分)(2013·安徽江南十校)将函数y＝sinx的图象向右平移π3个单位，再将所得的图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍．这样得到函数f(x)的图象．若g(x)＝f(x)cosx＋3.(1)将函数g(x)化成g(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B其中A，ω0，φ∈－π2，π2的形式；(2)若函数g(x)在区间－π12，θ0上的最大值为2，试求θ0的最小值．解(1)由题意可得f(x)＝4sinx－π3，∴g(x)＝4sinx－π3cosx＋3＝412sinx－32cosxcosx＋3＝2(sinxcosx－3cos2x)＋3＝2sin2x－π3.(2)∵x∈－π12，θ0，∴2x－π3∈－π2，2θ0－π3.要使函数g(x)在－π12，θ0上的最大值为2，当且仅当2θ0－π3≥π2，解得θ0≥512π.故θ0的最小值为512π.12．(本小题10分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；[来源:Z#xx#k.Com](2)设0xπ，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和．解(1)由图象知A＝2，34T＝11π12－π6＝3π4，则T＝π，所以ω＝2，又图象过点π6，2，所以2×π6＋φ＝π2.即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)在同一坐标系中画出y＝2sin2x＋π6和y＝m(m∈R)的图象，如图所示，由图可知，当－2m1或1m2时，直线y＝m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，[来源:学_科_网]故m的取值范围为－2m1或1m2.当－2m1时，两根之和为4π3；当1m2时，两根之和为π3.