RLS算法的改进方法

RLS算法的改进方法李天舒摘要：递归最小二乘（RLS）算法已被广泛应用于自适应鉴定，预测，过滤等诸多领域。本文提出在标准递推公式中增加一个二阶微分项，创造一个新的方法提高系统的跟踪能力。测试结果表明，这样可以大大提高RLS算法的收敛能力。关键词：自适应模型算法，RLS，跟踪能力；1引言自适应模型算法已成功适用于各个领域，如通信，雷达，声纳和生物医学工程，这是因为他们可以跟踪随时间变化的系统统计参数，以及在未知环境中很好的工作。自适应模型算法大致可以分为三类：1基于维纳滤波理论的算法，均方（LMS）算法。2基于卡尔曼滤波理论的算法。3递归最小二乘算法（RLS）。其中，RLS算法优于其他二种算法，并应用于许多领域。它具有很好最佳线性无偏估计当测量噪声是零均值白噪声时。他们也可以迅速收敛到最优解。多种形式的RLS算法已经被提出，例如Park和Jun[5]的具有快速跟踪能力的自扰动RlS算法，Jiang和Cook的具有高抗干扰能力的快速跟踪参数的RlS算法，基于卡尔曼滤波，Eom和Park的RLS算法具有快速跟踪能力和抗噪声干扰能力[7]。通过在标准递推公式增加一个中二阶微分项，本文中提出一种新的提高跟踪能力的方法。测试表明新的方法能极大的提高RLS算法的收敛能力。2标准的RLS算法设模型的输入，估计输出和期望输出在时间t时刻分别为x(t)，ˆ()yt和y(t)。所以y(t)通过下面的式子给出：()()()()Tyttxtnt（1）其中12()[(),(),......()]TNxtxtxtxt，N是模型的系列，n(t)是零均值方差为2的白噪声，12()[(),(),......()]TNtttt是模型的期望参数向量。标准RLS算法可以表述为：ˆˆ()()()()()()Tetytytyttxt（2）11(1)()()1()(1)()TPtxtktxtPtxt（3）11()(1)()()(1)TPtPtktxtPt（4）ˆˆ()(1)()()ttktet（5）其中e(t)为误差，12ˆˆˆˆ()[(),(),......()]TNtttt是在t时刻估计参数向量，12()[(),(),......()]TNktktktkt是卡尔曼增益向量，P（t）是方差矩阵的逆，它的初始值是1(0)PI（很小的正数），01是遗忘因子。假设：1）x(t)是一个零均值的固定的白高斯向量，自相关矩阵2xI。2）x(t)和n(t)是独立统计。3）P(t)独立于x(t)。定义参数误差向量V（t）为：ˆ()()()Vttt（6）V(t)假设是独立于x(t)的。根据方程（2）、（5）、（6），我们得到：(1)()()()()VtVtPtxtet（7）通过对方程两边计算并且用假设（3），我们得到：1{(1)}(1()){()}EVttEVt（8）其中：21()()nxtt（9）1()(1)/(1)ttitit（10）由于01，因此使1(1())t小于1。这意味着RLS参数误差向量渐近零。另一方面，乘以方程（7），在方程两边去方差，参数的误差矢量V（t）的相关矩阵，C（t）是可以递归描述为：2(1)(){()()()()}{()()()()}{()()()()()}TTTCtCtEPtetxtVtEVtxtetPtEPtetxtxtPt（11）其中C(t)是V（t）的自相关矩阵。根据Ref[8],向量dc，C(t)可以被描述为：22(1)()()()[1,1......1]TccxdtHtdtt（12）其中系统矩阵H(t)在下面给出：1244()(12())()([1,1......1][1,1......1]2)TxxxHttItI（13）并且其他的式子在方程（12）中通过下式给出：1[1,1......1][1,1......1]()()TbtaIabN（14）241222()()2()tttxxxattt（15）4()xbt（16）2(1)2()(1)/(1)tt（17）对于大的t已经证明,最大的特征根111e。因此方程（12）收敛，并产生一个稳定状态的解，此外，RLS算法在均方意义收敛。3改进的RLS算法设D是差分算子，再由式（5），它可以知道，参数向量增量ˆ()t，ˆ()Dt是：ˆˆˆ()()(1)()()Dtttktet（18）因此ˆ()t的变化仅仅受到ˆ()Dt影响。为了提高RLS的跟着能力，ˆ()Dt的一阶微分，i.e.趋于ˆ()Dt，加到方程(5)上，它可以得出：ˆˆˆˆ()(1)()()ttDtDDt（19）其中的初始值等于或者略小于1.期望和估计参数向量的误差，NE如下定义：2221122ˆˆˆˆ()()....()nnNE（20）其中n是AR模型参数。然后方程(19)中参数:,如果：NE(t)NE(t-1);否则：（21）其中是一个小于1的常数。现在，方程式（2）~（4）和（19）~（21）组成新的RLS算法。从式（6）和式（7），新的RLS算法的误差向量V(t)是：(1)()(1)()()()(1)(1)(1)VtVtPtxtetPtxtet（22）由于的初始值略小于1或者等于1。当t增大时1，0，式（22）就等于式（6）了，因此在新的RLS算法中参数误差向量的均值近似等于0。4测试结果5个AR（2）模型和5个AR(3)模型分别在表1和表3中列出来，用来比较标准的RLS算法和新的算法的表现。每个AR模型中噪声为均值为0、方差为2的高斯白噪声。在式（21）中参数的值为0.99。AR模型中的初始值分别为：1.0，0.95，1.1，0.94，0.98，0.99，0.98，0.99，0.95。图表1AR（2）模型中参数的值图表2AR（3）模型中参数的值图表3AR（2）模型中的演化时间图表4AR（3）模型中的演化时间5结论RLS算法已经广泛用在自适应模型中。新的RLS算法可能增加模型参数的一阶微分。通过对5个AR（2）模型和5个AR(3)模型用这种算法的测试，结果表明新算法的期望和估计误差小于0.05，跟踪能力极大的提高。参考文献[1]BROCKWELLPJ,DAVISRA.Timeseries:theoryandmethods[M].NewYork:Springer-VerlagInc,1991.