2012年高三数学一轮复习资料第六章-数列第5讲--数列求和

-1-第5讲数列求和★知识梳理★1.基本数列的前n项和⑴等差数列na的前n项和：nSnbnadnnnaaann211)1(212)(⑵等比数列na的前n项和nS：①当1q时，1naSn；②当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11；⑶基本数列2n的前n项和：nS)12)(1(61nnn.2.数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.★重难点突破★1.重点：掌握由数列通项公式求数列的前n项之和的方法；2.难点：利用裂项相消法、错位相减法求数列的前n项之和.3.重难点：灵活选择数列求和的方法，注意裂项相消法求和中项数及项的处理.⑴抓住等差，等比数列的项的性质，整体代值可简化解题过程.问题1：⑴已知nS为等比数列na的前n项和，公比7,299Sq，则99963aaaa；⑵等差数列na中，公差21d，且6099531aaaa，则100321aaaa.分析：利用（或转化为）等差、数列等比前n项和公式是最基本的方法；⑴要求前99项中序号为3的倍数项的和可进行整体考虑；⑵把99531aaaa当作一个整体考虑.解析：⑴)()()(99639852974199aaaaaaaaaS)()111(99632aaaqq，.44777499963aaaa-2-⑵21d，且6099531aaaa，)()()(531100642dadadaaaaa.852560)(99531aaaa.8560100321aaaa⑵裂项相消法求和中注意项数及项的处理.问题2：数列,)1(4321,,4321,321,21k的前n项和nS分析：此数列的第n项应为)3(2nnan（注意不是)1(2nnan？），裂项求和时注意项数.解析：此数列的第n项)311(32)3(2nnnnan，数列311nn的前n项和)311()6131()5121()411(nnTn)31615141()131211(nn.31211161131211131211nnnnnn).312111(3291132nnnTSnn★热点考点题型探析★考点已知数列的通项公式，求数列前n项之和题型1公式法、性质法求和【例1】⑴等比数列,222132，，，中的第5项到第10项的和为：⑵等差数列na的前n项和为18，前n2项为和28，则前n3项和为【解题思路】⑴可以先求出10S，再求出4S，利用410SS求解；也可以先求出5a及10a，由10765,,,,aaaa成等比数列求解；⑵利用等差数列的性质求解.【解析】⑴利用等比数列前n项和公式求解.由2,121aa，得2q，-3-102321)21(11010S，1521)21(144S，.1008410SS⑵利用等差数列的性质求解.na是等差数列，nSn为等差数列，nSnnSnnSnnnn3,3,2,2,,32三点共线.3023228321822833nnSnnnnSnnnn.【名师指引】利用等差（等比）数列的有关性质解题，可以简化运算.题型2拆项分组法求和【例2】求数列2)12(n的前n项和nS.【解题思路】根据通项公式，通过观察、分析、研究，可以分解通项公式中的对应项，达到求和的目的.【解析】144)12(22nnn2222)12(531nSnnnn)321(4)321(42222nnnnnn)1(214)12)(1(614)14(312nn.【名师指引】若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的.题型3裂项相消法求和【例3】求和：)1(1431321211nn.【解题思路】观察通项公式的特点，发现111)1(1nnnnan.【解析】111)1(1nnnn原式)111()4131()3121()211(nn111n1nn.【名师指引】数列的常见拆项有：111)1(1nnnn；nnnn111；)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnn；)!1(1!1)!1(nnnn.题型4错位相减法求和-4-【例4】若数列na的通项nnna3)12(，求此数列的前n项和nS.【解题思路】利用等比数列前n项和公式的推导方法求和，一般可解决形如一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题.【解析】nnnS3)12(35333132，①14323)12(3533313nnnS②①-②，得14323)12(32323232312nnnnS14323)12()3333(231nnn63)22(1nn.nS33)1(1nn.【名师指引】若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法.题型5倒序相加法求和【例5】设221)(xxxf，求：⑴)4()3()2()()()(213141ffffff；⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101fffffff【解题思路】观察)(xf及xf1的特点，发现1)1()(xfxf.【解析】221)(xxxf，1)1()(xfxf.⑴441)4()3()2()()()(213141ffffff⑵原式2009)12010(1.【名师指引】通过分析对应的通项，可结合等差数列前n项和的推导方法求解.☆⑴数列求和应该从通项入手；⑵数列求和的常用方法：公式法、性质法、拆项分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.【新题导练】1.已知等比数列na中，91,,0aaan为016102xx的两个根，则654aaa.【解析】由已知得，0na，1691aa，6435654aaaa.2.设函数)(xf定义如下表，数列}{nx满足5x且))((1Nnxfxnn，则2010x.-5-x12345)(xf41352【解析】经计算2,1,4,53210xxxx得，}{nx是一个以4为周期的周期数列，.412010xx注意项数的处理.3.求数列，，，，，)21(813412211nn的前n项和nS.【解析】nS)21(813412211nnnn21814121)321(211)211(21)1(21nnnnnn211)1(21.4.求数列,321,,321,21,1n的前n项和nS.【解析】nnnnn2121)1(213212)321(21)321(212222nnSn)12)(1(6121nnn)1(2121nn)2)(1(61nnn.5.⑴求和：)2(1531421311nn；⑵求和：)13)(23(11071741411nn；⑶求和：nn11341231121.【解析】⑴)211(21)2(1nnnn原式)211()5131()4121()311(21nn1121121n212321n.-6-⑵13123131)13)(23(1nnnn原式)131231()10171()7141()411(31nn131131n13nn.⑶nnnn111nn11341231121nn134231211n.6.求数列)0()12(,5,3,112aanaan，的前n项和nS.【解析】12)12(531nnanaaS①①a得，nnanaaaaS)12(5332②①-②得，nnnanaaaSa)12(2221)1(12当1a时，2nSn；当1a时，nnnanaaaSa)12(1)1(21)1(121)1()12()12(1aananaSnnn.7.求和：.lnlnlnln1253nnxxxxS【解析】1253lnlnlnlnnnxxxxSxnxxxln)12(ln5ln3ln，①则xxxxnxnSnlnln3ln5ln)32(ln)12(②①+②得，xnSxnxnxnxnSnnlnln2ln2ln2ln222.-7-★抢分频道★基础巩固训练1.数列na中，3,6011nnaaa，则数列na的前30项的绝对值之和为().A120.B495.C765.D3105【解析】C.633)1(360nnan，)1233(21nnSn，所求绝对值之和为.765)63(20212)33(30212203030SST2.123221222)3(2)2(2)1(nnnnnn的结果为().Ann12.B221nn.C221nn.D22nn【解析】C.用错位相减法3.在项数为12n的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和的比是().Ann1.Bnn21.Cnn12.Dnn212【解析】A.利用等差数列的性质4.数列na中，)1(1nnan，若na的前n项和为20102009，则项数n为().A2008.B2009.C2010.D2011【解析】B.111)1(1nnnnan，111nSn20102009，.2009n5.n321132112111的结果为.【解析】12nn)111(2)1(23211nnnnn，用裂项相消法.6.数列na中，)(,2211Nnaaann，则数列na的前n项和nS为.【解析】22121n由21nnaa，得2lnlnln2ln11nnnnaaaa，2ln2ln1nna，122nna，12422222nnS22121n7.数列na中，)()1(22Nnnann，则数列na的前n项和nS为.【解析】)(2))(1(2为正奇数为正偶数nnnnnnSn综合拔高训练8.设nS是数列na的前n项和，11a，)2(212nSaSnnn.⑴求na的通项；-8-⑵设12nSbnn，求数列nb的前n项和nT.【解析】⑴212nnnSaS，2n时，21)(12nnnnSSSS，整理得，2112111nnnnnnSSSSSS，数列na是以2为公差的等差数列，其首项为.111S121)