2012年高三数学一轮复习资料第八章-平面向量第4讲-平面向量的应用

-1-第4讲平面向量的应用★知识梳理★1．利用向量处理几何问题的步骤为：（1）建立平面直角坐标系；（2）设点的坐标；（3）求出有关向量的坐标；（4）利用向量的运算计算结果；（5）得到结论.2.平面向量在物理中的应用如图5-4-3所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（6）那么力F所做的功：W=|F||S|cosα.3．重要不等式：||||||||ababab特别提醒：常用于求参数的范围★重难点突破★1.重点：会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,如确定力或速度的大小以及方向.2.难点：加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力3.重难点：.1奎屯王新敞新疆熟悉向量的性质及运算律；2奎屯王新敞新疆能根据向量性质特点构造向量；3奎屯王新敞新疆熟练平面几何性质在解题中应用；4奎屯王新敞新疆熟练向量求解的坐标化思路奎屯王新敞新疆5奎屯王新敞新疆认识事物之间的内在联系；6奎屯王新敞新疆认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识奎屯王新敞新疆★热点考点题型探析★考点一：平面向量在平面几何题型1.用向量证明几何题[例1]已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线奎屯王新敞新疆求证AC⊥BD奎屯王新敞新疆[解题思路]：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件奎屯王新敞新疆解析：证法一：∵AC＝AB＋AD，SFα-2-BD＝AD－AB，∴AC·BD＝（AB＋AD）·（AD－AB）＝｜AD｜2－｜AB｜2＝O∴AC⊥BD证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）则由｜AB｜＝｜BC｜得a2＋b2＝c2∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），BD＝BA＋BC＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴AC·BD＝c2－a2－b2＝O∴AC⊥BD即AC⊥BD【名师指引】如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便奎屯王新敞新疆通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用。【新题导练】1．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.[解析]设AC=b，CB=a，则AD=AC+CD=b+21a,CBECEB=21b+a∵A,G,D共线，B,G,E共线∴可设AG=λAD，EG=μEB,则AG=λAD=λ(b+21a)=λb+21λa,EG=μEB=μ(21b+a)=21μb+μa,∵AGEGAE即：21b+(21μb+μa)=λb+21λa∴(μ21λ)a+(21μλ+21)b=0∵a,b不平行，∴21023211130223AGAD2．已知)0,1(),0,4(NM，若动点(,)Pxy满足6||MNMPNP，求动点P的轨迹方程.ABCEFDG-3-[解析]),1(),0,3(),,4(yxPNMNyxMP由已知得22)()1(6)4(3yxx，化简得134,12432222yxyx即,这就是动点P的轨迹方程.考点二:平面向量与三角函数、函数等知识的综合应有用题型1:与函数综合题[例2]广东省华南师大附中2009届高三综合测试（数学理）,,abc为△ABC的内角A、B、C的对边，(cos,sin)22CCm，(cos,sin)22CCn，且m与n的夹角为3，求C；[解题思路]：考查向量数量积运算及三角函数二倍角公式解析：∵(cos,sin)22CCm，(cos,sin)22CCn∴22cossincos22CCmnC又1||||coscos332mnmn∴1cos2C，∴3C[例3]广东省揭阳二中2009届高三统测（数学理）已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，向量,,OAOBOC满足23(1)[ln(23)]02OAxOBxyOC,记()yfx.求函数()yfx的解析式；[解题思路]：A、B、C三点共线，(1)OAOBOC解析：23(1)[ln(23)]2OAxOBxyOCA、B、C三点共线，231ln(23)12xxy23ln(23)2yxx………3分【名师指引】涉及与三角综合的题目，多数只利用向量的基本运算，把问题转化为三角问题，以考查三角函数知识为主。三点共线是一个常考常新的知识点。要记住常用结论：A、B、C三点共线，(1)OAOBOC【新题导练】3．广东省高明一中2009届高三月考（数学理）已知向量)sin2,cos2(a，)1,0(),,2(b，则向量a与b的夹角为（）-4-A．23B．2C．2D．答案：A解析：2sincossin2||||abab又(,)2所以选A4．广东省揭阳二中2009届高三统测（数学理）在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边；若向量(2,0)m与(sin,1cos)nBB的夹角为3，求角B的大小解：由题意得：222sin1cos32||||2sin(1cos)mnBmnBB，即sin1222cosBB222sin1cos2coscos10BBBB1coscos1()2BB或舍去0B23B………6分考点三:平面向量在物理中的应用题型1:用向量解决物理问题[例4]设炮弹被以初速v0和仰角抛出（空气阻力忽略不计）.当初速度v0的大小一定时，发射角多大时，炮弹飞行的距离最远.[解题思路]：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把v0分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.解析：将v0分解为水平方向和竖直方向两个分速度v1和v2，则|v1|=|v0|cos,|v2|=|v0|sin,由物理学知识可知，炮弹在水平方向飞行的距离S=|v1|·t=|v0|cos·t（t是飞行时间）①炮弹在垂直方向的位移是0=|v2|·t-21gt2（g是重力加速度）②由②得t=gvsin||02,③代入①得S=gvgv222020sincossin||由于|v0|一定，所以当=45°时，S有最大值.故发射角=45°时，炮弹飞行的距离最远.[例5]某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.[解题思路]：利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”解析：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，PBAOvv2a-5-ABDC30上游下游无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为va，设OA=a，OB=2a∵PO+OA=PA∴PA=va，这就是感到由正北方向吹来的风速，∵PO+OB=PB∴PB=v2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB，由题意：PBO=45,PABO,BA=AO从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO=PB=2a即：|v|=2a∴实际风速是2a的西北风【名师指引】加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力【新题导练】5．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为()A．（－2，4）B（10，－5）C（－30，25）D（5，－10）答案：B解析：5秒后点P的坐标为（－10，10）+5（4，－3）=(10,-5)6．在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？答案：船航行的方向是与河岸垂直方向成30夹角，即指向河的上游.★抢分频道★基础巩固训练1.如果一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则（）A．s|a|B．s|a|C．s=|a|D．s与|a|不能比大小答案：A2.已知1OA，3OB，0OAOB，点C在AOB内，且30oAOC，设-6-OCmOAnOB(,)mnR，则mn等于（）A．13B．3C．33D．3答案B∵1OA，3OB，0OAOB∴△ABC为直角三角形，其中1142ACAB∴1131()4444OCOAACOAABOAOBOAOAOB∴31,44mn即3mn故本题的答案为B．3.(2008·广东省实验中学高三第三次阶段考)在△ABC中，已知向量21||||0)||||(ACACABABBCACACABABACAB且满足与，则△ABC为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形答案：D[解析]非零向量与满足(||||ABACABAC)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又cosA||||ABACABAC=12，∠A=3，所以△ABC为等边三角形4.在ΔABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则)(OCOBOA的最小值为.答案:2如图，设xAO，则xOM2，所以)(OCOBOAOMOAOMOA222)1(242)2(222xxxxx，故当1x时，OMmOAnOB取最小值-2.5.一个30º的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大_________力;若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为ω，则球的重力沿斜面方向的分力f=___________保持球在斜面上静止不动的推力f′=答案：4.9N,f=p－ω,,f′=－f=ω－p6.（2008·佛山石门中学检测）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（—3，4），OMCBA-7-若点C在∠AOB的一平分线上，且2||OC，则OC____________.答案：)5103,510(［解析］∵点C在∠AOB的一平分线上,∴设OC)||(OBOBOA=)54,53()1,0(=)59,53()0(又4||2OC,∴4)2581259(2，得310,∴OC)5103,510(综合拔高训练7．广州市海珠区2009届高三上学期综合测试二(数学理)已知：A、B、C是ABC的内角，cba,,分别是其对边长，向量1cos,3Am，1,2cosAn，nm.求角A的大小；解:(Ⅰ)1cos,3Am=1cos,3A……1分1,2cosAn=1,sinA……2分∵nm01cossin3AA……4分216sinA……6分∵,66,6566,0AAA……7分3A.……8分8．已知A、B、C三点的坐标分别为)0,3(A、)3,0(B、).23,2(),sin,(cosC（1）若求角|,|||BCAC的值；（2）若.tan12sinsin2,12的值求BCAC解：（1）)3sin,(cos),sin,3(cosBCAC，-8-,45),23,2(,cossin||||,sin610||,cos610sin)3(cos||22又得由BCACBCAC（2）由,1)3(sinsincos)3(cos,1得BCAC.95tan12sinsin2,,95cossin2