《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解撰稿：孙景艳责编：赵炜【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如xa，xa等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2.不等式的性质：：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或abcc)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或abcc)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式1.用适当的符号语言表达下列关系.（1）a与5的和是正数.（2）b与－5的差不是正数.（3）x的2倍大于x.（4）2x与1的和小于零.（5）a的2倍与4的差不少于5.【答案与解析】解：（1）a+50；（2）b－（－5）≤0；（3）2xx；（4）2x+10；（5）2a－4≥5.【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于……举一反三：【变式】用适当的符号语言表达下列关系：（1）y的12与3的差是负数.（2）x的12与3的差大于2.（3）b的12与c的和不大于9.【答案】（1）1302y；（2）1322x；（3）192bc.2.用适当的符号填空：（1）如果ab，那么a－3__b－3；7a__7b；－2a__－2b.（2）如果ab，那么a－b__0；a+5b__6b；11__22abb.【思路点拨】不等式的基本性质1,2,3．【答案】（1）；；．（2）＜；＜；＜．【解析】（1）在不等式ab两边同减去3，得a－3＜b－3；，得7a＜7b；在不等式ab两边同乘以﹣2，得－2a＞－2b．（2）在不等式ab两边同减去b，合并得a－b＜0；在ab两边同加上5b，合并得a+5b＜6b；在ab两边同减去12b，合并得1122ab．【总结升华】刚开始在面对不等式的基本变形时，要不断强化在变形上所运用的具体性质，同时也要逐步积累一些运用性质变形后的化简结果，这样学习到的不等式的基本性质才能落在实处．举一反三：【变式1】用适当的符号填空：（1）7a+6__7a－6；（2）若ac＞bc，且c＜0，则ab．【答案】（1）；（2）＞．【高清课堂：一元一次不等式章节复习410551例1】【变式2】判断:（1）如果ab，那么22acbc；（2）如果22acbc，那么ab.【答案】（1）×；（2）√．类型二、一元一次不等式3.解不等式3(1)5182xxx【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形．去分母时，不要忘记给分子加括号．【答案与解析】解：去分母，得8x+3(x+1)＞8－4(x－5)，去括号，得8x+3x+3＞8－4x+20，移项，得8x+3x+4x＞8+20－3，合并同类项，得15x＞25，系数化为1．得53x．∴不等式的解集为53x．【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：ax＝bax＞bax＜b解：当a≠0时，bxa；当a＝0，b≠0时，无解；当a＝0，b＝0时，x为任意有理数．解：当a＞0时，bxa；当a＜0时，bxa；当a＝0，b≥0时，无解；当a＝0，b＜0时，x为任意有理数．解：当a＞0时，bxa；当a＜０时，bxa；当a＝0，b≤0时，无解；当a＝0，b＞0时，x为任意有理数．举一反三：【变式】(湖南益阳)解不等式5113xx，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：去分母得5x－1－3x＞3，移项、合并同类项，得2x＞4，系数化为1，得x＞2，解集在数轴上的表示如图所示．4.某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于10%，那么商店最多降价多少元出售商品？【思路点拨】利润＝售价－进价，售价＝进价＋利润＝进价×（1＋利润率）.【答案与解析】解：设商店降价x元出售该商品，则225x≥150(110%)，解得x≤60.答：商店最多降价60元出售商品.类型三、一元一次不等式组5.解不等式组：②①13215)3(3xxxx，并求出正整数解.【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分.【答案与解析】解：由不等式①得x≤2，由不等式②得4x，∴由①②得42xx，即2x∴原不等式组的解集是2x，正整数解为1,2．【总结升华】求不等式(组)的特殊解的一般步骤是先求出不等式(组)的解集，再从中找出符合要求的特殊解．举一反三：【变式】求不等式组3(2)42513xxxx的整数解．【答案】解：解不等式－3(x－2)≥4－x，得x≤1，解不等式2513xx，得x＞－2，所以该不等式组的解集为：－2＜x≤1，所以该不等式组的整数解是－1，0，1．类型四、综合应用6.若关于x,y的方程组3223xykyx的解满足11xy，求k的整数值.【思路点拨】从概念出发，解出方程组（用k表示x、y），然后解不等式组.【答案与解析】解：解方程组3223xykxy43,729.7kxky得∵11xy，431,7291.7kk即解得：512k,∴整数k的值为0，1，2.【总结升华】方程组的未知数是x、y，k在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用k表示x、y.方程组的解满足不等式，那么可以将x、y用含k的式子替换，得到关于k的不等式组，可以求出k的取值范围，进而可以求出k的整数值.【高清课堂：一元一次不等式章节复习410551例3（1）】举一反三：【变式】m为何值时，关于x的方程：6151632xmmx的解大于1？【答案】解：由6151632xmmx，得315mx，∴3115m，解得2m．∴当2m时，关于x的方程：6151632xmmx的解大于1.7.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满．．．．．）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．【思路点拨】（1）设单独租用35座客车需x辆．根据单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满和单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，分别表示出总人数，从而列方程求解；（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4－y）辆．根据不等关系：①两种车坐的总人数不小于175人；②租车资金不超过1500元．列不等式组分析求解．【答案与解析】解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：3555(1)45xx,解得：5x.∴35355175x（人）.答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4y）辆，由题意得：3555(4)175320400(4)1500yyyy≥≤，解这个不等式组，得111244y≤≤．∵y取正整数，∴y=2.∴4－y=4－2=2（辆）.∴320×2＋400×2=1440（元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元．【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．