J阶梅欣公式及其算法分析

J阶梅钦公式及其简式的算法分析与应用吴敏金在诸多的反正切和式应用于计算圆周率pi中，梅钦公式[1]占有特别重要的位置。本文将在作者[2]的基础上，进一步将梅钦公式加以拓广，提出j阶梅钦公式及其简式，它包含了日本人在1981年将圆周率pi计算到2*10^6位所采用的公式（即1阶梅钦公式），导出其实现的算法，并给出基于万进制数的计算圆周率pi的应用结果。一、反正切和式的回顾所谓反正切和式[2]为关系式arctan1/a=arctan1/b+arctan1/c……………(1)其中a,b,c为正实数。在应用于计算圆周率pi时，要求a,b,c取正整数（或有理分数）。简记为[a=b+c]………………………………………………(2)可以证明[2]：a=(bc-1)/(b+c)……………………………………(3)1+a^2=(b-a)(c-a)…………………………………(4)反正切和式有多种形式，如：[a=b-c]表示arctan1/a=arctan1/b-arctan1/c，此时，a=(bc+1)/(c-b)……………………………………(5)。又如,[a=n*b]表示arctan1/a=n*arctan1/b。（注意：在[]中，n,b不可交换。符号“*”不是算术乘“·”，是n个反正切的和）。例如,梅钦公式:[1=4*5-239]，而日本人用的则是：[1=8*10-4*515-239]。其他的见[2]。为了采用反正切展开式而优化计算圆周率pi，人们不断探索新的反正切和式，文献[2]借用式(3,4)导出了一系列新的反正切和式。如，因子分解法：已知a，求b,c。将(1+a^2)分解为m*n，那么b=m+a,c=n+a。本文将从梅钦公式:[1=4*5-239]出发，引进j阶梅钦公式。二、j阶梅钦公式【定理1】对于任意的正整数a，有[a=2*(2a)-x]x=4a^3+3a…………………………………….(2.0)【证明】：事实上,用式(6)，得[a=((2a)^2-1)/(4a)-x],即[x=((2a)^2-1)/(4a)-a]。由式(5),得x=4a^3+3a。【证毕】在梅钦公式:[1=4*5-239]中，取a=5,用定理1，有[5=2*10-515]即得[1=8*10-4*515-239]…………………………(2.1)此称为1阶梅钦公式。进而，在1阶梅钦公式:[1=8*10-4*5-239]中，取a=10,用定理1，有[10=2*20-4030]即得[1=16*20-8*4030-4*515-239]…………………(2.2)此称为2阶梅钦公式。在2阶梅钦公式:[1=16*20-8*4030-4*515-239]中，取a=20,用定理1，[20=2*40-48120]即得[1=32*40-16*48120-8*4030-4*515-239]………(2.3)此称为3阶梅钦公式。一般地，有【定理2】j阶梅钦公式:[1=（4·2^j)*(5·2^j)-Ξ(2^(i+1)*xi)-239]。xi=5·2^(i-1)·((5·2^i)^2+3)…………………(2.4)其中，Ξ表示求和从i=1到j。【证明】用归纳法及定理1。留给读者。综合上述，0阶梅钦公式:[1=4*5-239]1阶梅钦公式:[1=8*10-4*515-239]2阶梅钦公式：[1=16*20-8*4030-4*515-239]3阶梅钦公式：[1=32*40-16*48120-8*4030-4*515-239]及j阶梅钦公式(2.4)。三、j阶梅钦公式的简式由上面的式(2.4)，可见j阶梅钦公式由首项（4·2^j）*（5·2^j）,末项239及中间的许多过渡项组成。为加速运算，可将其末项239及中间的许多过渡项合并成为[1=(4·2^j）*（5·2^j）-wmj]………………(3.1)此为j阶梅钦公式简式，是一种广义的梅钦公式（wu-machin）。j阶梅钦公式简式中的wmj（称为wu-machin吴梅数），除了j=0外，通常不为整数。为pi的精确计算，mj不能用近似的有限小数表示，必须用分数形式，其整数的的分子与分母记为wmj1与wmj2。即wmj=wmj1/wmj2。下面给出吴梅数wmj的数值及其迭代算法。首先，由于pi的计算要达到几万亿位，计算机高级语言中的数据类型（如整型，长整型等）已无能为力。对此，作者引入了新的数据类型----万进制数（是一种新的类与对象。万进制数的定义、结构、运算及其应用另文阐述）。吴梅数mj将用万进制数表示。由式(3.1)[wmj=(4·2^j）*（5·2^j）-1]…………………(3.2)对于给定的j。算法如下：1，令b=5·2^j;2，迭代j次计算[b=2*b]，用的是迭代式b=((2b)^2-1)/(2b)。3，计算结果：wmj=b。j=1,2,3的吴梅数wmj的分子与分母用16位的万进制数表示如下(即64位的十进制数)：四、j阶梅钦公式及其简式应用于圆周率的计算结果分析与实践表明：基于万进制表示方法，借助反正切展开式，用j=0,1,2,3阶梅钦公式及其简式（wu-machin公式）都能得到pi的正确运行结果，其运行的pi万位数列于下表。有关它们的算法分析与比较（如精确位数N，迭代次数K，运行时间T）以及进一步运行结果另文论述。下面是pi的万位表（用3阶梅钦公式运行的，其他的相同从略）Pi的万位数分4段显示如下参考文献：[1]谢惠民数学史赏析高教出版社2014[2]吴敏金反正切和式与圆周率计算百度文库2015.4