高一函数经典难题讲解

高一经典难题讲解1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)=-1+1/(a-x),当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时x∈[a-1,a-1/2](a-x)∈[1/2,1]1/(a-x)∈[1,2]f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a.(1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2当x2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,①a=0时x=0,零点个数为1；a0时x0,由①，x=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;0xa4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a4时，②无实根，零点个数为1。a0时，x0,由①，x=a-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2；xa时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a-4时③无实根，零点个数为1.综上，a-4,或a=0,或a4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4a0,或0a4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m的值（2）当x∈（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。解：1、函数f(x)=log3[1-m(x+2)[/(x-3)图象关于原点对称，则该函数是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。log3[1-m(2-x)]/(-x-3)=-log3[1-m(x+2)]/(x-3)log3[1-m(2-x)]/(-x-3)=log3(x-3)/[1-m(x+2)][1-m(2-x)]/(-x-3)=(x-3)/[1-m(x+2)]化简得-x^2+9=-m^2(x^2)+(2m-1)^2所以-m^2=-1（2m-1)^2=9解得m=-1所以,函数解析式为f(x)=log3[(x+3)/(x-3)]2、先求t(x)=(x+3)/(x-3)在（3,4)上的值域。t(x）=（x+3)/(x-3)=[(x-3)+6]/(x-3)=1+[6/(x-3)]当3x4时，0x-311/(x-3)1,6/(x-3)6所以t(x)=1+[6/(x-3)]7那么,原函数在（3,4)上值域是（log3(7)，正无穷）3、先求函数定义域(x+3)/(x-3)0且x≠3解得x3或x-3(1)当x3时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以函数f(x)=log3t(x)单调递减。（2）当x-3时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以函数f(x)=log3t(x)单调递减。4.已知函数f（x）=log4（4^x+1）+kx是偶函数.(1)求k的值(2)设f（x）=log4(a2^x-4/3a)有且只有一个实数根,求实数的取值范围.解:（1）f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数，∴f(-x)=f(x),即log4[4^(-x)+1]+k(-x)=log4(4^x+1)+kx,∴log4{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,-x=2kx,k=-1/2.高一经典难题讲解(2)f(x)=log4(4^x+1)-x/2=log4(4^x+1)-log4(2^x)=log4[(4^x+1)/2^x]g(x)=log4(a·2^x-4/3a)联立log4[(4^x+1)/2^x]=log4(a·2^x-4/3a)∴(4^x+1)/2^x=a·2^x-4/3a不妨设t=2^xt＞0t^2+1/t=at-4/3at^2+1=at^2-4/3at(a-1)t^2-4/3at-1=0设u(t)=(a-1)t^2-4/3at-1∵两函数图像只有1个公共点，在这里就变成了有且只有一个正根1.当a=1时t=-3/4不满足(舍)2.当△=0时a=3/4或a=-3a=3/4时t=-1/2＜0（舍）a=-3时t=1/2满足3.当一正根一负根时(a-1)×u(0)＜0(根据根的分布)∴a＞1综上所述，得a=-3或a＞15.这个是概念的问题:1.对于f(x)取值范围（0，无穷），f²(x)+bf(x)+c=0最多有两个不同的f(x)。2.对f(x)的图像进行分析，知道f(x)=1对应的x值有三个，即除x=2外另有两个关于x=2对称的x。f(x)不等于1时对应的x值有两个，即两个关于x=2对称的两个x。3.题意说f²(x)+bf(x)+c=0对应的x根有5个，显然满足f²(x)+bf(x)+c=0的f(x)有两个，一个f(x)对应三个x值，设为x1,x2,x3;另一个f（x）对应两个x,设为x4,x5;根据以上分析，应有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4则f（x1+x2+x3+x4+x5）=f(10)=1/8,选B6.已知函数0x,0x,0x1x)x(f,,f(x)的值域是｛0｝∪【1，+∞）.求关于x的方程f^2(x)+bf(x)+c=0有五个根的充要条件?函数图像是一个“W”字样两个V字的连接点落到坐标原点的形状，也就是两个“V”字加原点7.定义域为R的偶函数f(x),当x0时，f(x)=lnx-ax(a属于R)，方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解（1）求x0时，函数f(x)的解析式(2)求实数a的取值范围(1)f(x)为偶函数，有一个大于零的解，则一定会有一个小于零的解和他对应，f(x)=0在R上有5个不同的实数解，则f(0)=0，f(x)在x0时有两个解当x0时，-x0，f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)当a＜0时，y高一经典难题讲解=lnx,y=-ax在x0时都单调增，则f(x)=lnx-ax在x0时单调增，只有一个解，不满足题意当a=0时，f(x)=lnx在x0时单调增，只有一个解，不满足题意当a＞0时，f'(x)=1/x-a当x=1/a时，f'(x)=0，f(x)在(0,1/a)单调增,在(1/a,+∞)单调减,在x=1/a取到最大值要f(x)在x0时有两个解,只要f(1/a)＞0，即ln(1/a)＞1,1/a＞e,得a＜1/e综上,a∈(0,1/e)8.定义域为R的偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=lnx-ax（a∈R），方程f（x）=0在R上恰有5个不同的实数解．（1）求x＜0时，函数f（x）的解析式；（2）求实数a的取值范围．解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0．∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（-x）=ln（-x）+ax．（2）∵f（x）为偶函数，∴f（x）=0的根关于原点对称．由f（x）=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根．且两个正根和二个负根互为相反数．∴原命题⇔当x＞0时f（x）图象与x轴恰有两个不同的交点．下面研究x＞0时的情况：f（x）=0的零点个数⇔y=lnx与直线y=ax交点的个数．∴当a≤0时，y=lnx递增与直线y=ax下降或与x轴重合，故交点的个数为1，不合题意，∴a＞0．由几何意义知y=lnx与直线y=ax交点的个数为2时，直线y=ax的变化应是从x轴到与y=lnx相切之间的情形．设切点(t，lnt)⇒k＝(lnx)′|x＝t＝t1，∴切线方程为：y−lnt＝t1(x−t)．由切线与y=ax重合知a＝t1，lnt＝1⇒t＝e，a＝e1，故实数a的取值范围为(0，e1)．9.函数y=loga(2x-3)+22的图像恒过定点P，P在幂函数f(x)的图像上，则f(9)=___解:由于loga(1)恒等于0，所以P坐标为（2，22），而P在幂函数的图像上，所以设这个函数为f(x)=x^a，则22=2^a，解得a=-1/2，所以f(9)=9^(-1/2)=1/√9=1/3。10.函数y=loga(-x)+2的图像恒过定点P，P在幂函数f(x)的图像上，则f(2)=___解:P点坐标为（-1，2），与a无关而幂函数f(x)=b^x要经过P点，则2=b^-1，所以b=1/2所以f(2)=(1/2)^2=1/411.若偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1）且在x属于【0，1】时f（x）=x的平方，则关于x的方程f（x）=(1/10)的x的平方在[0,10/3]上的实数根有几个f(x－1)=f(x＋1)，则函数f(x)的周期为2，可以作出函数f(x)的图像。另外设g(x)=(1/10)x²，利用图像，得出方程f(x)=g(x)的根有2个。12.已知偶函数f（x）满足f（x＋1）=f（x-1），且x∈[0,1]，f（x）=（x-1）²，则f（7/2）=解:由f(x+1)=f(x-1)则f(x+2)=f(x)所以T=2所以偶函数f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2)=f(1/2)=(1/2-1)²=1/413.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=2^x+1（1）求函数f(x)的解析式，作出函数的图象。（2）写出单调区间，并求出函数f(x)的值域解：（1）根据题意，当x＞0时，-x＜0，∴f(x)=-f(-x)=-[2^(-x)+1]=-1-(1/2)^x∴x＜0时,f(x)=1+2^xx＞0时，f(x)=-1-(1/2)^x(2)递增区间是(-∞，0)和(0,+∞)x＜0时，f(x)∈(0,2)x＞0时，f(x)(-2,0)∴f(x)的值域是(-2,0）∪(0,2）图像高一经典难题讲解14.题目：设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，并且f(x)-g(x)=x²-3x+1,求f(x)和g(x)的解析式f(x)-g(x)=x²-3x+1f(-x)-g(-x)=（-x）²-3（-x）+1=-f(x)-g(x)【根据两个函数性质可得】解上述两个方程得f(x)=-3xg(x)=-x²-115.已知f（x)是定义在R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)=f(x-1),则f(2011)+f(2013)的值为？解：g(x)=f(x-1)=g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)f(2011)=g(2012)f(2013)=g(-2012)f（2011）+f（2013）=016.若函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1/x-1,则f(x)=___”解:f(x)+g(x)=1/（x－1）（1）f(-x)+g(-x)=-1/（x+1）（2）由f(x)=f(-x)，g(-x)=-g(x)可知f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/（x+1）（3）（1）和（3）相加则有2f(x)=-1/（x－1）-1/（x+1）则f(x)=1/(x^2-1)17.函数f(x)对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当x0时,f(x)3(1).求证:f(x)在R上是增函数(2).若f(3)=6,解不等式f(a^2-3a-9)4(1).证明：任取x1,x2,且x1x2,∵x2-x10,∴f(x2-x1)3,∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-3=f(x1)+[f(x2-x1)-3]f(x1),∴对任意x1x2,都有f(x1)f(x2),故f(