85二次曲面与空间曲线

8.5二次曲面与空间曲线一、曲面及其方程二、常见的二次曲面及其方程三、空间曲线及其方程四、空间曲线在坐标面上的投影五、小结8.5二次曲面与空间曲线一、曲面及其方程定义1.0),,(zyxF如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程SzyxO8.5二次曲面与空间曲线故所求方程为例1求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222RzyxMOxyz0M8.5二次曲面与空间曲线二、常见的二次曲面及其方程1.柱面引例分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解在xOy面上，表示圆C,222Ryx过此点作对任意z,平行z轴的直线l,在圆C上任取一点,)0,,(1yxM),,(zyxM点xyzClM1MO8.5二次曲面与空间曲线沿圆周C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间222Ryx柱面.表示圆柱面其上所有点的坐标都满足此方程,定义2.平行定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面.C叫做准线,L叫做母线.Cl8.5二次曲面与空间曲线OxyzxyzOxyz表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xOy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.12222byaxz轴的平面.0yx表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于O8.5二次曲面与空间曲线定义3一条平面曲线2.旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:8.5二次曲面与空间曲线建立yOz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为,),,(zyxM当绕z轴旋转时,0),(11zyf,),,0(111CzyM若点给定yOz面上曲线C:),,0(111zyM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfOzyxC),,(zyxM8.5二次曲面与空间曲线例2试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解在yOz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为)(2222yxaz两边平方xozy),,0(111zyM),,(zyxMoxzy8.5二次曲面与空间曲线xyzOxyzO例3.求坐标面xOz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转122222czyax绕z轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为xyzO8.5二次曲面与空间曲线讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．1.椭球面1222222czbyax8.5二次曲面与空间曲线ozyx椭球面与三个坐标面的交线：22221,0yxzac22221.0xyzbc22221,0zyxab椭球面与平面的交线为椭圆1zz12122222122221)()(zzzccbyzccax同理与平面和的交线也是椭圆.1xx1yycz||18.5二次曲面与空间曲线2.抛物面zqypx2222（与同号）pq椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面与曲面相截)0(zxoy截得一点，即坐标原点)0,0,0(O设0,0qp原点也叫椭圆抛物面的顶点.8.5二次曲面与空间曲线11212122zzqzypzx当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.1zz与平面的交线为椭圆.1zz)0(1z与平面不相交.1zz)0(1z（2）用坐标面与曲面相截)0(yxoz022ypzx截得抛物线8.5二次曲面与空间曲线与平面的交线为抛物线.1yy121222yyqyzpx它的轴平行于轴z顶点qyy2,,0211（3）用坐标面，与曲面相截)0(xyoz1xx均可得抛物线.同理当时可类似讨论.0,0qp8.5二次曲面与空间曲线zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：0,0qp0,0qp8.5二次曲面与空间曲线特殊地：当时，方程变为qpzpypx2222旋转抛物面)0(p（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）xozpzx2211222zzpzyx与平面的交线为圆.1zz)0(1z当变动时，这种圆的中心都在轴上.1zz8.5二次曲面与空间曲线zqypx2222（与同号）pq双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设0,0qp图形如下：xyzo8.5二次曲面与空间曲线3.双曲面单叶双曲面1222222czbyax（1）用坐标面与曲面相截)0(zxoy截得中心在原点的椭圆.)0,0,0(O222210zyxab图8-3-98.5二次曲面与空间曲线与平面的交线为椭圆.1zz当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.1zz122122221zzczbyax截得中心在原点的双曲线.222210yxzac实轴与轴相合，虚轴与轴相合.xz8.5二次曲面与空间曲线122122221yybyczax双曲线的中心都在轴上.y与平面的交线为双曲线.1yy)(1by,)1(221byx实轴与轴平行,z虚轴与轴平行.,)2(221byz实轴与轴平行,x虚轴与轴平行.,)3(1by截痕为一对相交于点的直线.)0,,0(b8.5二次曲面与空间曲线,0byczax.0byczax,)4(1by截痕为一对相交于点的直线.)0,,0(b,0byczax.0byczax（3）用坐标面，与曲面相截)0(xyoz1xx8.5二次曲面与空间曲线单叶双曲面图形xyoz平面的截痕是两对相交直线.ax8.5二次曲面与空间曲线双叶双曲面1222222czbyaxxyoz8.5二次曲面与空间曲线三、空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组2SL0),,(zyxF0),,(zyxG1S例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.xzy1OC28.5二次曲面与空间曲线2.空间曲线的参数方程)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.空间曲线的参数方程8.5二次曲面与空间曲线M在xoy面的投影)0,,(yxMtaxcostaysinvtz螺旋线的参数方程取时间t为参数，AMMt解xyzo例4如果空间一点M在圆柱面222ayx上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中、v都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．8.5二次曲面与空间曲线螺旋线的参数方程还可以写为bzayaxsincos),(vbt螺旋线的重要性质：,:00,:00bbbz上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度bh2螺距,28.5二次曲面与空间曲线四、空间曲线在坐标面上的投影1.空间曲线在坐标面上的投影曲线0),,(0),,(zyxGzyxF消去变量z后得：0),(yxH曲线关于的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：8.5二次曲面与空间曲线如图:投影曲线的研究过程.8.5二次曲面与空间曲线例5求曲面面22zxy与球面222zxy的交线C在XOY面上的投影曲线.交线C的一般方程为解22222:zxyCzxy从该方程组中消去变量z，得221xy交线C的投影柱面方程为221xy，所以交线C在XOY面上的投影曲线为8.5二次曲面与空间曲线例6求曲线在坐标面上的投影.211222zzyx解（1）消去变量z后得,4322yx在面上的投影为xoy,04322zyx8.5二次曲面与空间曲线所以在面上的投影为线段.xoz;23||,021xyz（3）同理在面上的投影也为线段.yoz.23||,021yxz（2）因为曲线在平面上，21z8.5二次曲面与空间曲线2.空间立体在坐标面上的投影区域解柱面和锥面的交线为2222,:,zxCzxy例7设一个立体由柱面22zx和锥面22zxy所围成,求它在坐标面上的投影.消去变量z,得到222xxy这是两曲面交线关于XOY面的投影柱面，故立体在XOY面上的投影区域22110xyz8.5二次曲面与空间曲线同样可得到该立体在XOZ平面和YOZ平面上的投影区域分别为20xzxy22211,020zyzx8.5二次曲面与空间曲线五、小结1.曲面及方程0),,(zyxF•球面2202020)()()(Rzzyyxx•旋转曲面如,曲线00),(xzyf绕z轴的旋转曲面:0),(22zyxf•柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.8.5二次曲面与空间曲线2.常见的二次曲面及方程三元二次方程),(同号qp•椭球面•抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222•双曲面:单叶双曲面2222byax1双叶双曲面2222byax1•椭圆锥面:22222zbyax8.5二次曲面与空间曲线3.空间曲线三元方程组或参数方程4.求投影曲线(如,圆柱螺线)8.5二次曲面与空间曲线思考与练习求椭圆抛物面zxy222与抛物柱面zx22的交线关于xoy面的投影柱面和在xoy面上的投影曲线方程.8.5二次曲面与空间曲线思考题解答,22222zxzxy交线方程为消去z得投影柱面,122yx在面上的投影为xoy.0122zyx图8-4-11