4第四讲微积分中存在性问题的证明方法

1泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第四讲微积分中存在性问题的证明方法课时数4教学目的通过教学使学生掌握微积分中存在性问题证明的一般方法，熟练掌握用介值定理或根的存在性定理证明存在性问题；用中值定理证明存在性问题；用泰勒公式证明存在性问题重点难点1．用介值定理或根的存在性定理证明存在性问题2．用中值定理证明存在性问题3．用泰勒公式证明存在性问题教学提纲第四讲微积分中存在性问题的证明方法1．基本结论(1)有界性；最值性；零点定理；介值性定理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理2．证明思路(1)设)(xf在[a,b]上连续，条件中不涉及到导数或可微，证明存在],[ba，使得cxf)(，一般用介值定理或根的存在性定理。(2)设)(xf在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在),(ba，使得结论中包含和一阶导数的等式成立，一般用中值定理。(3)设)(xf在[a,b]上连续，在(a,b)上二阶可微，证明存在),(ba，使得结论中包含和二阶导数的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。(4)设)(xf在[a,b]上连续，在(a,b)上三次（或以上）可导，证明存在),(ba，使得结论中包含和三阶导数的等式成立，一般用泰勒公式。(5)条件中包含badxxfcf)()(时，要首先使用积分中值定理处理，得到)()(fcf，作为其他证明的条件。3.存在性证明中辅助函数的构造方法2教学过程与内容教学后记第四讲微积分中存在性问题的证明方法微积分中存在性问题的证明问题涉及闭区间上连续函数的性质、微分中值定理、积分中值定理和泰勒公式，是历年考试的重点，一定熟练掌握。这一问题的突破点是选择正确的解题思路并合理构造辅助函数，有时辅助函数需要借助微分方程来寻找寻找。1．基本结论(1)有界性：若()[,]0,[,],()fxCabMxabfxM。(2)最值性：若()[,]fxCab，则()fx在[,]ab能取到最大值和最小值。(3)零点定理：若()[,]fxCab，且()()0fafb，则在(,)ab内至少存在一点c，使()0fc。(4)介值性：若()[,]fxCab，,Mm分别是()fx在[,]ab上的最大值和最小值，则[,]mM，在[,]ab至少存在一点c，使()fc。(5)罗尔定理如果函数)(xf满足：（1）在闭区间],[ba上连续（2）在开区间),(ba内可导（3）在区间端点处的函数值相等，即)()(bfaf那么在),(ba内至少在一点)(ba使得函数)(xf在该点的导数等于零，即0)('f(6)拉格朗日中值定理如果函数)(xf满足（1）在闭区间],[ba上连续（2）在开区间),(ba内可导那么在),(ba内至少有一点)(ba使得等式))(()()('abfafbf(7)柯西中值定理如果函数)(xf及)(xF在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且)('xF在),(ba内每一点均不为零，那末在),(ba内至少有一点)(ba,使等式)()()()()()(''FfaFbFafbf成立2．证明思路(1)设)(xf在[a,b]上连续，条件中不涉及到导数或可微，证明存在],[ba，使得cxf)(，一般用介值定理或根的存在性定理。(2)设)(xf在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在),(ba，使得结论中包含和一阶导数的等式成立，一般用中值定理。(3)设)(xf在[a,b]上连续，在(a,b)上二阶可微，证明存在),(ba，使得结论中包含和二阶导数的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。3(4)设)(xf在[a,b]上连续，在(a,b)上三次（或以上）可导，证明存在),(ba，使得结论中包含和三阶导数的等式成立，一般用泰勒公式。(5)条件中包含badxxfcf)()(时，要首先使用积分中值定理处理，得到)()(fcf，作为其他证明的条件。3.存在性证明中辅助函数的构造方法存在性证明中成功构造辅助函数是解题的关键。辅助函数大多来源于结论，从对结论的分析中得出辅助函数。例1、设)(xf在[0，2a]上连续，)2()0(aff，证明在[0,a]上存在使得)()(faf.【分析】0)()(0)()()()(xfxaffaffaf【证明】令)()()(xfxafxG，],0[ax．)(xG在[0,a]上连续，且)()0()()2()(affafafaG)0()()0(fafG当)0()(faf时，取0，即有)()(faf；当)0()(faf时，0)()0(aGG，由根的存在性定理知存在),0(a使得，0)(G，即)()(faf．例2设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在)3,0(，使.0)(f【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点c)3,0[，使得)3(1)(fcf，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(fff，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【证明】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是Mfm)0(，Mfm)1(，Mfm)2(.4故.3)2()1()0(Mfffm由介值定理知，至少存在一点]2,0[c，使.13)2()1()0()(fffcf因为f(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(c，使.0)(f例3、设函数)(xf在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(f，证明：在(0,1)内存在，使得)()(ff．【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：0)(0)()(0)()()()(xxfxfxxfffff【证明】令)()(xxfxG，则)(xG在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且0)1(1G(1)0,0)(0)0(ffG,)()()(xfxxfxG由罗尔中值定理知，存在)1,0(，使得)()()(ffG．即)()(ff例4设函数)(xf在［0，1］上连续，（0，1）内可导，且kxdxxfxekf101)()1(证明：)()1()()1,0(1ff，使（1k）．【分析】本题的难点是构造辅助函数，)()1()(1ff)()1()(ff)()()(fff)()()(xxfxfxfx)(])([xxfxxfxexxf)(1)(xfxex令)()(xfxexgx)()1(1fef)()1(gg【证明】略例5设函数)(xf在［0，1］上连续，（0，1）内可导，且1)(,0)1()0(21fff证明：(1))()1,(21f，使5(2)对于任意实数，1))(()(),0(ff，使【分析】本题的难点是构造辅助函数，1))(()(ff1)()(ff01)()(xxfxfxxfxf1)()(xCedxexCexfxdxdx)1()(Cexxfx])([令])([)(xxfexgx例6、设函数)(xf在［0，1］上连续，（0，1）内可导，且0)(),1,0(,0)0(xfxf证明：)1()1()()()1,0(ffffn，使（n为自然数）．【分析】本题构造辅助函数的难度大于上一题，需要积分（即解微分方程）方可得到：dxxfxfdxxfxfnxfxfxffnffffn)1()1()()()1()1()(())1()1()()()1(ln)(ln)1()1(1)()(1xfxfxfdxfxdfxfnn1)1()(xfxfn【证明】令)1()()(xfxfxGn，则)(xG在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且0G(1))0(G，，使)1,0(0)(G，即0)1()()1()()(1fffxfnfnn，又0)(xf，约去)(1xfn，整理得证．例7、设函数)(xf在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(f，1)1(f.证明：(1)在(0,1)内存在，使得1)(f．(2)在(0,1)内存在两个不同的点，1)()(//ff使得【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考6虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令xxfxF1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-10,F(1)=10,于是由介值定理知，存在存在),1,0(使得0)(F，即1)(f.（II）在],0[和]1,[上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(，使得0)0()()(fff，1)()1()(fff于是.1111)(1)()()(ffff类似地还有例8、设函数)(xf在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明：在(a,b)内存在,使得)(2)(//fbaf．例9：设函数)(xf在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，1)()(bfaf证明：在(a,b)内存在,使得1)]()([/ffe．例10：设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存在(,)ab，使得()().fg【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令()()()Fxfxgx，则问题转化为证明()0F,只需对()Fx用罗尔定理，关键是找到()Fx的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点(,)cab，使得()0Fc，则在区间[,],[,]accb上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()Fx用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数()()()Fxfxgx，由题设有F(a)=F(b)=0.又f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值,不妨设存在21xx,),(,21baxx使得12[,][,]()max(),()max()ababfxMfxgxMgx，若21xx，令1xc,则()0.Fc7若21xx，因111222()()()0,()()()0FxfxgxFxfxgx，从而存在12[,](,)cxxab，使()0.Fc在区间[,],[,]accb上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)accb，使得12()()0FF.再对()Fx在区间12[,]上应用罗尔定理，知存在12(,)(,)ab，有()0F，即()().fg