aaaMy2015=S=中国高中数学联赛数论题选05-10简化=

数论题选第1页共3页全国数学竞赛数论题选2003:二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l＞m＞n，已知}103{}103{}103{444nml，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．2004:三、（本题满分50分）对于整数n≥4，求出最小的整数)(nf，使得对于任何正整数m，集合1,...,1,nmmm的任一个)(nf元子集中，均有至少3个两两互素的元素.2005:6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221iTaaaaaMTi将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）A．43273767575B．43272767575C．43274707171D．4327370717113.数列}{na满足：.,236457,1210Nnaaaannn证明：（1）对任意naNn,为正整数；(2)对任意1,1nnaaNn为完全平方数。三、（本题满分50分）对每个正整数n,定义函数01()[]nfnnn当为平方数，当不为平方数。（其中[x]表示不超过x的最大整数，[]xxx）.试求：2401()kfk的值.2007：设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=5111iikm，其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n.2008：设()fx是周期函数，T和1是()fx的周期且01T．证明：（Ⅰ）若T为有理数，则存在素数p，使1p是()fx的周期；（Ⅱ）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}na满足110nnaa(1,2,)n，且每个(1,2,)nan都是()fx的周期．2009:设k，l是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数mk≥，使得Ckm与l互素．数论题选第2页共3页2010:四、（本题满分50分）设k是给定的正整数，12rk．记(1)()()frfrrr，()()lfr(1)(()),2lffrl．证明：存在正整数m，使得()()mfr为一个整数．这里，x表示不小于实数x的最小整数，例如：112，11．2011:二、（本题满分40分）证明：对任意整数4n，存在一个n次多项式0111)(axaxaxxfnnn具有如下性质：（1）110,,,naaa均为正整数；（2）对任意正整数m，及任意)2(kk个互不相同的正整数krrr,,,21，均有)()()()(21krfrfrfmf．2012:二、（本题满分40分）试证明：集合2{2,2,2,}nA满足（1）对每个aA，及bN，若21ba,则(1)bb一定不是2a的倍数；（2）对每个aA（其中A表示A在N中的补集），且1a,必存在,21aNba，使(1)bb是2a的倍数．四、（本题满分50分）设1112nSn，n是正整数．证明：对满足01ab的任意实数,ab，数列{[]}nnSS中有无穷多项属于(,)ab．这里，[]x表示不超过实数x的最大整数．2013:二、（本题满分40分）给定正整数u，v．数列}{na定义如下:vua1,对整数1m，vaauaammmm122,记21aaSm…,2,1(mam…）．证明：数列}{nS中有无穷多项是完全平方数．四、（本题满分50分）设n，k为大于1的整数，kn2．证明：存在k2个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有若干个数的和被n整除．2014:（本题满分50分）设整数201421,,xxx模2014互不同余,整数201421,,yyy模2014也互不同余.证明:可将201421,,yyy重新排列为201421,,zzz,使得201420142211,,zxzxzx模4028互不同余.附:2009CMO二、求所有的素数对（p，q），使得qppq55．数论题选第3页共3页