ch2-序列的傅立叶变换与Z变换

第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换第2章序列的傅立叶变换与Z变换2.1序列的傅里叶变换2.2傅里叶变换的对称性质2.3序列的Z变换2.4Z反变换2.5Z变换的基本性质和定理2.6序列的Z变换与连续信号的拉氏变换及傅里叶变换的关系2.7系统离散的频率特性第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换时间域变换域连续信号与系统tf(t)微分方程傅里叶变换拉氏变换离散信号与系统nf(n)差分方程傅里叶变换离散傅里叶变换Z变换)(jF)(sL)(jeF)(kF)(zF第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换DTFT数字信号分析的一个重要工具,相当于模拟信号分析的傅里叶变换。对于信号而言，DTFT得到的信息为信号的频谱，对滤波器而言，DTFT得到的信息为滤波器的频率响应。时域信号（序列）DTFT信号的频谱时域系统（h（n））DTFT滤波器特性频率响应滤波器的频率特性将在后续章节研究，本节先对时间序列进行频谱分析。第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换2.1.1序列傅里叶变换的定义2.1.2序列傅里叶变换的基本性质2.1.3周期序列的傅里叶变换2.1序列的傅里叶变换DTFT第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换给出数字信号频谱的定义，包括幅度和相位频谱说明如何利用DTFT计算非周期信号的频谱给出DFS的定义说明如何利用DFS计算周期信号的频谱定义基频和谐波频率2.1序列的傅里叶变换DTFT----------数字信号频谱第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换2.1.1序列傅里叶变换的定义discrete-timeFourierTransform第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换()nxn(2.2)2.1.1序列傅里叶变换的定义DTFT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：()()jjnnXexne(2.1)为序列x(n)的傅里叶变换，可以用DTFT缩写字母表示定义discrete-timeFourierTransform第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换deemjj)(为求DTFT的反变换，用ejωm乘(2.1)式两边，并在内对ω进行积分，得到(2.4)deenxnjj)(21)(deenxmjnnj)(nnmjdenx)()((2.3))(2)(nmdenmjnnmjdenx)()()(2)()(2mxnmnxn,第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换Thediscrete-timeFouriertransform(DTFT)nnjjenxnxFeX)()]([)(deeXeXFnxnjjj)(21)]([)(1DTFT:IDTFT:ExistenceCondition:x(n)isabsolutelysummable.|)(|nx第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换DTFTDTFT[.]transformsadiscretesignalx(n)intoacomplex-valuedcontinuousfunctionXofrealvariableω,calledadigitalfrequency,whichismeasuredinradians.Timedomain--FrequencydomainDiscrete--ContinuousRealvalued--Complex-valuedSummation--integralTherangeofn:Theintegralrangeofω:第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换“基础”P173利用欧拉恒等式当x(n)与正弦cos(nw)发生“共振”时，其DTFT最大，由此可见，离散时间傅里叶变换反映了信号的频率。第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换例2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的DTFT解：(2.5)设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如图2.1所示。10)()(NnnjnnjNjeenReX)()(112/2/2/2/2/2/jjjNjNjNjjNjeeeeeeee2/sin2/sin2/)1(NeNj第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换图2.1R4(n)的幅度与相位曲线(1)/23/2sin/24sin/2sin2sin/2jNjNeNe作业：设x(n)=RN(n)，求x(n)的DTFT画出幅度谱和相角谱，并加以解释。第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换Examples---Matlab2.2Determinethediscrete-timeFouriertransformofEvaluateX(ejω)at501equispacedpointsbetween[0,π]andplotitsmagnitude,angle,real,andimaginaryparts.)()5.0()(nunxn第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换Solution:Thesequencex(n)isabsolutelysummable;thereforeitsdiscrete-timeFouriertransformexists.5.05.011)5.0()5.0()()(00jjjnnjnnjnnnjjeeeeeenxeX第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换MatlabImplementationw=[0:1:500]*pi/500;%把[0,pi]轴分为501点.X=exp(j*w)./(exp(j*w)-0.5*ones(1,501));magX=abs(X);angX=angle(X);realX=real(X);imagX=imag(X);subplot(2,2,1);plot(w/pi,magX);gridxlabel('');title('幅度部分');ylabel('幅值')subplot(2,2,3);plot(w/pi,angX);gridxlabel('以pi为单位的频率');title('相角部分');ylabel('弧度')subplot(2,2,2);plot(w/pi,realX);gridxlabel('');title('实部');ylabel('实部')subplot(2,2,4);plot(w/pi,imagX);gridxlabel('以pi为单位的频率');title('虚部');ylabel('虚部')第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换MatlabImplementation第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换RN(n)DTFT演示demoDTFT.m()()MATLABjjnnXexne通用程序00.511.522.5300.51051015202530354000.5105010015020025030035040000.51020040060080010001200140016001800200000.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81024abs(X())-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8102040abs(X())-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810200400abs(X())-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81010002000abs(X())第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换2.1.2序列傅里叶变换的性质1.DTFT的周期性和对称性2.DTFT的线性3.DTFT的时移与频移4.DTFT的时域卷积定理5.DTFT的频域卷积定理6.DTFT的帕斯瓦尔定理第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换(2.6)因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。1.DTFT的周期性Periodicity在DTFT定义中，n取整数，因此下式成立22()()()()()jjnjnjnnXexnexneXe（）第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换Examples----Complex-valuedsignalLetDetermineX(ejω)andinvestigateitsperiodicity.UsingMatlab设k=-200:200;ω=(pi/100)*k=[-2π，2π];/*2π一周期取200点*/100,))3/exp(9.0()(njnxn第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换)200(10100)199(10100)200(10100)200(1100)199(1100)200(1100)200(0100)199(0100)200(0100200199200101010010010010020021002002)()()()()()()()()(])10()1()0([])10()1()0([])10()1()0([)(|)(|)()(''jjjjjjjjjjknjknjnknjnkjeeeeeeeeexxxexxxexxxenxenxeXkXX=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);用离散频谱近似表示连续频谱第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换n=0:10;x=(0.9*exp(j*pi/3)).^n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;/*2π一周期取200点*/X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);magX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);gridaxis([-2,2,0,8])ylabel('|X|')title('幅度部分')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);gridaxis([-2,2,-1,1])xlabel('以pi为单位的频率');ylabel('弧度/pi')title('相角部分')MatlabImplementation第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换Complex-valuedsignalTheDTFTisperiodicinω,butitisnotconjugate-symmetric.第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换Examples----Real-valuedsignalLetDetermineX(ejω)andinvestigateitsperiodicityandconjugate-symmetryproperty.55,)9.0()(nnxn第2章序列的傅立叶变换DTFT与Z变换subplot(1,1,1)n=-5:5;x=(-0.9).^n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);magX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);gridaxis([-2,2,0,15])xlabel('');ylabel('|X|')title('幅度部分')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);gridaxis([-2,2,