用小世界网络模型研究SARS病毒的传播

用小世界网络模型研究SARS病毒的传播林国基，贾珣，欧阳颀北京大学物理学院非线性实验室，北京大学理论生物中心本文用小世界网络模型模拟SARS病毒的传播，成功得到了和现实病毒扩散相同的趋势，同时指出与病毒传播速度相关的网络参量，并通过引入网络反馈提出控制病毒传播的几种可能的手段和以后的发展可能性。一、模型介绍流行病传播模型是时空动力学模型。传统理论的主要基本假设把社会中人与人的关系看成规则网络，主要的预测模型是反应——扩散模型。随着现代化交通工具的发展，此模型已经不能如实反映传染病传播的实际情况。近年来，大量的统计数据表明，社会网络模型应该是“小世界”模型。“小世界”概念是近年来复杂性科学研究的一个新成果，已经在许多应用领域得到应用。如互联网控制，爱滋病传播预测，生物学蛋白质网络动力学研究等。由现代交通工具带来的社会网络的新特点，研究现代流行病传播必须考虑小世界网络模型。小世界网络模型是Watts和Strogatz在1998年提出的基于人类社会网络的网络模型，它通过调节一个参数可以从规则网络向随机网络过渡。这个模型的构造算法是：从一个环状的规则网络开始，网络含有N个结点，每个结点向与它最近邻的K个结点连出K条边，并满足NKln(N)1。对每一条边，有p的概率改变它的目的连接点来重新连接此边，并保证没有重复的边出现，这样就会产生pNK/2条长程的边把一个结点和远处的结点联系起来。改变p值可以实现从规则网络(p=0)向随机网络(p=1)转变。图1展示了小世界网络的构造过程：小世界网络模型的“小世界”主要特征之一是结点之间的平均距离随远程连接的个数而指数下降，对于规则网络，平均距离L可估计为；而对于小世界网络模型，，例如，对于一个千万人口的城市，人与人的平均接触距离时6左右。这使得社会人群之间的距离大大缩短。图1.小世界网络的构造过程以及从规则网络向随机网络的过渡。图中有N=20，K=4。我们把社会中的人们看成是网络的结点，把人们之间的亲密接触关系表示为结点间的连接边。在模拟中我们取网络的大小为N=1000000，p=0.01，K值作为一调节参量待定。根据SARS病毒的传播规律，我们把一个人的感染周期分为三个阶段：潜伏期、传染期和隔离期。一个人被感染后进入潜伏期，这个时期没有传染性，假设潜伏期平均为6天，在不同的人中是标准差为2天的高斯分布。然后病人进入天数为T的传染期，在此期间每天每个和他有亲密接触关系的人都有pi的概率被传染，接着病人被隔离治疗，隔离期我们假设为10天，最后病人康复重新进入网络中，忽略掉病人死亡的情况。在这里病毒传染情况可以用一个量S来表示：(1)而传染率pi是相对固定的值，因此我们假设pi平均值为0.05，在不同的人中是标准差为0.01的高斯分布，再根据实际情况调节K和T的值来观察病毒传播的情况。模拟中我们首先在网络中引进一个病源，然后根据上述的规则演化，并每步记录总的患病人数Nt和当天仍患病的病人人数Ni。二、模拟结果1、网络参数对病毒传播的影响现在网络有两个可调参数，它们和现实情况相对应：K表示人们之间联系的密切程度，而T则表示发现并隔离病源的速度，可以预料K越大，T越长，病毒就越容易传播；K越小，T越短，病毒就越难传播。我们的模拟结果也证实了这一点。我们的模拟结果显示，病毒传播的速度非常敏感地依赖于这两个参数，只要参数稍作变化，病毒的传播速度就会有很大改变。而且当T固定时，对于参数K，存在一个临界Kc值，当KKc时，病毒不能大范围传播，总患病人数到达一定的数目后就停止增长；而当KKc时，病毒将迅速传播直到所有人都被传染。如当T=2时，有Kc≈14。图2、3分别展示了K和T对病毒传播的影响。图2.平均连接边数K对病毒传播的影响，两图均有T=2。左图K=10，病毒传播自动衰减；右图K=20，病毒迅速传播。图3.传染期时间T对病毒传播的影响。可以看到T只要增加1天，传染的速度就会大幅度增加，其中K=20。由图3可见，不能及时发现病源和人们之间接触太多会非常有利于病毒的传播，初期出现病毒的爆发正是由于这两个原因，要控制病毒的蔓延也正是要从这两个方面入手。2、引入反馈机制后对病毒传播的影响如果不引入其它的机制，那么病毒的传播就只有两种结果，要么自动衰减，要么迅速蔓延，这显然都不符合实际的传播情况。因此有必要引入新的机制来使病毒扩散后再被抑制下来。减小T值和K值可以抑制病毒的传播。T值的减小有赖于政府和医疗部门加强对病源的搜查和效率的提高，而K值的减小则和制定的隔离制度和人们的自觉有关系。人们的自觉性往往是一个渐变的过程，会随着疫情的变化而变化，是一个反馈过程，引入这个反馈过程可以达到抑制病毒扩散的效果。具体的反馈过程如下：初始状态K=K0，当人们发现最近的连续3天(这是人们的反应时间)当前患病人数Ni都增长的时候，人们每天就把平均连接边数K减小2，直到Ni不再上升为止。模拟显示Ni和Nt随着时间的变化情况如图4所示：图4.引入反馈机制后Ni和Nt随时间的变化曲线，其中T=2，K0=80。可以看出引入反馈机制后能有效地抑制病毒的传播。由上图我们可以看到，引入了反馈机制使人们自我隔离后，病毒的传播得到有效的控制，因此大家自觉地进行自我隔离，减少和别人的接触是防止病毒传播的行之有效的办法，也说明了现实中我们对抗SARS的隔离制度是正确的。如今SARS的疫情已经逐渐减轻了，但如果人们在这个时候放松警惕，不能贯彻好隔离制度，又会有什么影响呢？我们利用这个小世界网络模型来看一看。我们在上述的反馈机制中加入一条，当人们发现当前患病人数Ni100并且最近连续3天Ni都减小时，就会放松警惕，每天把平均连接边数K又增加2，直到Ni不再减小为止。模拟显示现在Ni和Nt随着时间的变化情况如图5所示。由此可见，即使在疫情已经缓和的情况下，一旦大家放松了警惕，病毒很快就会死灰复燃，患病人数Ni始终在大家的思想警戒线附近波动，总的患病人数也会不断增加，这样疫情始终都得不到根治。因此在当前的形势下，尽管疫情已经减轻了，但是现在才是最关键的时候，我们一定不能麻痹大意，要贯彻好隔离制度，提高警惕性和自觉性，这样才能根本地战胜SARS。图5.人们会放松警惕时Ni和Nt随时间的变化曲线，其中T=2，K0=80。可以看出人们一旦放松警惕当前患病人数Ni就很难完全减小到0，而且Ni会出现震荡，Nt也会不断增大。3、信息透明度对病毒传播的影响。实际情况中，不是所有人都能及时获得疫情信息从而开始自我隔离的，例如在北京，直到4月20日公布了准确的患病人数后才开始大规模采取措施实施图6.在有反馈的情况下不同的信息透明度对病毒传播的影响，其中K0=60，T=2，两条曲线分别为Ti=0.7和Ti=1.0的情况。自我隔离，因此这里就有一个信息透明度的问题。在这个小世界网络模型中，我们也引入一个叫信息透明度Ti的量来表征这种情况。在模型中，Ti的意义是知道疫情情况从而会进行自我隔离的人占总人数的比例，即每次减小连接边数目的结点比例只有Ti。从图6我们可以看到透明度对病毒的传播也有重要的影响。很明显当透明度比较高时，疫情消失需要的时间比较少，高峰期患病的人数也比较少，因此让人们尽早地知道疫情，从而做好预防措施也是控制疫情的有效方法。综合以上所提到的各种因素，我们可以来拟合一下北京的疫情发展状况。我们参考的是北京4月20日以来的数据，因为计算机运算能力的限制，我们的网络大小只有1百万，而北京的人口大概是1千万，所以我们把北京的患病人数除以10后作为我们模型的拟合数据。模型设计如下：一开始K0=70，Ti=0.1，T=2，当Nt30后Ti变化为1.0，每次反馈时如果需要进一步自我隔离则K值减小4，其它参数不变。得到的结果如图7所示：图7.利用小世界网络对北京SARS疫情的模拟结果，其中K0=70，Ti=0.1，T=2，当Nt30后Ti变化为1.0，每次反馈时如果需要进一步自我隔离则K值减小4。可见利用小世界网络模型模拟的结果和北京SARS疫情的发展吻合得很好，说明了用小世界网络模型来模拟人类社会，并研究、预测疾病的传播是比较成功的，进一步考虑更细致的因素应该可以得到更深入的结果。