Duffing方程混沌现象仿真与分析

Duffing方程混沌现象仿真与分析课程名称：非线性电路理论及应用班级：硕3022班姓名：胡兴好学号：3113162037指导老师：刘崇新摘要：Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程，特别是电工领域的一些问题的研究有重要的意义。目前duffing方程对微弱信号的检测研究较多，本文首先对于不同情况下的Duffing方程的混沌现象，利用MATLAB软件对方程进行模拟仿真与分析。另外分析了基于Duffing方程振子信号检测技术的一种新型的单相接地故障选线方法及其有效性。关键词：Duffing方程；Matlab仿真；弱信号检测；单相接地故障1引言在非线性与混沌系统的研究中，Duffing方程展示了丰富的混沌动力学行为，Duffing方程的非线性与混沌特性得到了人们坚持不懈的研究。关于Duffing方程的工程背景，Duffing方程的混沌动力学行为的控制，Duffing方程在工程物理系统中的应用，一直是人们研究与关注的复杂课题。先后有许多学者都已进行了多年的探索和分析，并取得了丰硕的成果。混沌是自然界一种普遍存在的非线性现象，电路中的混沌实际上是在一定的参数条件下，在一些属于确定性系统的电路里产生的类似于随机响应。电力系统及其工程物理领域存在着大量的铁磁电感器件，如铁芯互感器、铁芯变压器、铁芯电抗器等非线性电感器件。通过Duffing方程探讨铁磁谐振电路中的分岔、拟周期运动、子谐波振荡，研究电路的混沌动力学行为及混沌机理，尤其对探讨电力系统的稳定性有着极其重要的意义。Duffing方程振子信号检测技术利用混沌系统的分岔特性来检测外界信号，将待测信号作为Duffing方程周期策动力的摄动，噪声即使强烈,对系统的状态也不会造成影响，而一旦有特定的信号出现,即使幅值较小，也会使系统发生相变。利用Duffing方程振子系统的这种初值敏感性可以获得很高的测量灵敏度和良好的抗噪性能。中低压配电网中性点一般采用不接地或经消弧线圈接地方式，称为小电流接地电网。小电流接地系统发生单相接地故障时，若不及时找出故障线路采取措施予以消除，故障将进一步扩大成相间短路，引起严重后果。在现场存在严重电磁干扰的情况下，检出的故障分量信噪比低，目前典型的基于稳态量的自动选线方法会造成误判或拒判，降低了保护的灵敏度和可靠性。基于Duffing方程振子信号检测技术，有人提出一种新型的单相接地故障选线方法。该方法将选线问题转化为待测故障信号从无到有的敏感检测问题不需要确切计算零序电流的幅值和相位，只要求了解零序电流幅值的数量级范围即可便于选择Duffing方程振子检测因子，故障线路零序电流使Duffing方程振子系统分别处于大周期或混沌状态来选择故障线路，简化了选线过程,抗噪性能好，提高了接地保护的灵敏度和可靠性。根据以上方法，基于虚拟仪器技术，本文实现了小电流系统单相接地故障选线仪。2duffing方程电路模型仿真2.1著名的Duffing方程是反映工程物理系统中非线性现象和混沌动力学行为的极为重要的方程式，本文主要讨论如下的Duffing方程形式：232sindxdxxxftdtdt（2-1）用上述方程来描述的一种并联LC铁磁混沌振荡电路如图一所示：图2-1并联LC铁磁混沌振荡电路在图2-1中，非线性电感是一个含铁芯的电感线圈，当电感线圈磁通饱和时，电感电流为：3Liab（2-2）非线性电感是一个磁通链控制型的电感，是此电路中唯一的非线性器件，而电容C、电阻R均为线性器件。对图一可得状态方程：31()[()]CCCsdudtduCabuutdtR（2-3）其中()sinsmutUt为了分析方便，对方程进行归一化处理，令=则d=，图一的状态方程可进行可化为：21()[()]CCCsuddtduabuutdtCCR（2-4）又令x，cuy，21aC，1ekCR，2mUefCR，1eR，其中e为小参数，则状态方程进一步化为：3()sindxyddyxxekyefd(2-5)图2-2为用Matlab里的Simulink模块对(1)式进行仿真求解的模型：图2-2Simulink仿真模型①取初值(0，0),当ek=0.1,ef=92.825时，x,y的仿真波形如图三所示。图2-3Simulink仿真50S的x,y的波形图图2-4Simulink仿真50S的x,y的平面图上图为信号x,y的平面图，从图中可以看出，x,y均有界，但又非周期。2.2下面探究信号对参数的敏感性②取初值(0，0)，当ek=0.1,ef=88时图2-5信号x,y的平面图③取初值(0，0),当ek=0.1,ef=80时图2-6信号x,y的平面图④取初值(0，0),当ek=0.1,ef=40时图2-7信号x,y的平面图由图2-4-图2-7可以看出，当参数变化时，系统特性发生变化，但各信号并没有很强的规律性，这反映了确定系统中的不确定性的行为特征。3单相接电故障的duffing方程检测华北电力大学小电流接地实验室建成了一套10kV电网单相接地故障模拟实验系统,该模型系统采用1：1的模拟比例，模拟实验系统的拓扑结构如图3-1所示，参数如表3-1所示图3-110kV电网实验系统模型表l模拟实验系统参数线路单相电容/F三相总电容/F单相电感/mH模拟线路长/km10.0150.04515.62.2520.0720.216124.810.8030.1550.46585.823.2540.1700.51045.025.50模型系统中10kV工作电压由380V/10kV升压变压器提供,容量为100kVA。线路1，2，3通过三相电流互感器接成的零序滤过器获得,线路4的零序电流通过零序电流互感器获得。采用该实验系统和本文研制的混沌小电流故障选线仪进行了多次单相故障实验,实验结果如表2所示。实验中100，计算步长取0.002，计算时间为5s，混沌到大周期状态变化的临界值df取0.8259，检测因子为10-2。从表2中可以看出，混沌选线方法的实验结果与实际情况相符。对于消弧线圈接地方式进行了金属接地故障的物理模型实验，取500二,计算步长取0.0005，计算时间为5s，混沌到周期状态变化的临界值九取0.82583，检测因子为10-1在多次实验中,用混沌选线方法均能正确判别故障线路。表2物理模拟实验选线结果实验组数实际故障线路接电电阻选出的故障线路110，4，6，8，131220，4，6，8，132330，4，6，8，133440，4，6，8，1345母线0，4，6，8，13母线采用本文方法对某变电所人工单相接地试验录波数据进行了分析，选线结果均与实际情况相符。该变电所有2段母线，每段母线连接6条出线，出线为电缆出口转架空线形式，中性点不接地。故障点设在线路分支点供电变压器人口处。分别在不同线路上进行了7次接地试验,用LabVIEW采集卡记录故障数据,采样率为每个周期100点，共得到7组数据。将Duffing方程中固有周期策动力的角频率设为100π，求得df=0.8259，将每一组同步采集到的数据乘以变换因子10-2，逐路送人混沌选线系统,计算步长取信号的采样周期(0.2ms)，采用4阶龙格库塔法求解，获得系统的相图，利用计算机自动识别系统的状态,依据本文提出的混沌选线方法自动判别故障线路。例如,在第1组数据中,线路1的零序电流信号和其他线路的零序电流信号使Duffing系统处于不同的运动状态,则可判断:线路1为故障线路。7次接地试验的选线结果均与实际情况一致。为验证本文所提出的方法的抗噪性能,进一步降低待检信号的信噪比,在各组录波数据中人为地加人高斯白噪声,使其信噪比低于20dB。将人为加人噪声后的各次试验数据(加人噪声后的信号已被噪声湮没)送人混沌选线系统,选线结果仍然与实际相符。4结论Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程，特别是电工领域的一些问题的研究有重要的意义。duffing方程对微弱信号的检测研究较多，本文首先对于不同情况下的Duffing方程的混沌现象，利用MATLAB软件对方程进行模拟仿真与分析。另外分析了基于Duffing方程振子信号检测技术的一种新型的单相接地故障选线方法及其有效性。参考文献[1]张静，韩仿仿.杜芬振子的仿真分析,科技广场2007，(9)[2]李卫东，王秀岩.杜芬方程的仿真分析及混沌控制，大连交通大学学报2009，30(5)[3]黄胜伟.Duffing振子强迫振动的混沌特性仿真分析，力学与实践，2004年24卷[4]张健.基于混沌的频率测量方法及仿真研究,哈尔滨理工大学硕士学位论文[5]王海波.Duffing方程非线性振动特性的计算与分析,西安建筑科技大学硕士学位论文[6]尚秋峰,杨以涵,李士林,等.Duffing振子信号检测方法用于配电网单相故障接地保护[J].电力系统自动化,2004,28(13):63-67.