2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第十章计数原理第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个解析由题意，知1,2,3中必有某一个数字使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相同的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法，故共可组成3×3×2＝18(个)不同的四位数．答案C2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法总数是()．A．210B．420C．56D．22解析由分类加法计数原理：两类配餐方法和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法总数为：C24C27＋C14C27＝210.答案A3．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有()A．24种B．18种C．12种D．6种解析法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6(种)不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6种不同种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法24－6＝18(种)．答案B4．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()．A．60B．48C．36D．24解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个，故选B.答案B5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()．A．300种B．240种C．144种D．96种解析甲、乙两人不去巴黎游览情况较多，采用排除法，符合条件的选择方案有C46A44－C12A35＝240.答案B6．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()．A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4解析利用排列、组合知识求解．设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示．若任意两位同学之间都进行交换共进行C26＝15(次)交换，现共进行13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如a－b和a－c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人．(2)由4人构成的2次交换，如a－b和c－e之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，e四人．故选D.答案D二、填空题7．从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示)．解析因为直线过原点，所以C＝0，从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A、B，两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A26＝30.答案308．数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种．解析必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×3＝12种填法．答案129．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有________种．解析由于3×3方格中，每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起．如图中的△，当△全为1时，有2种(即第一行第2列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3，当第一行填完后，其他行的数字便可确定)，当△全为2或3时，分别有2种，所以共有6种；当△分别为1,2,3时，也共有6种．共12种．答案1210．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．解析记4位同学分别为：A、B、C、D.则上午共有4×3×2×1＝24种安排方式．不妨先假定上午如表格所示安排方式，项目身高与体重立定跳远肺活量握力台阶上午ABCD[来源下午则下午可如下安排：BADC、BCAD、BCDA、BDAC、CABD、CADB，CDAB、CDBA，DABC、DCAB、DCBA，共11种安排方式．因此，全天共有24×11＝264(种)安排方式．答案264三、解答题11．如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？解(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形．(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成C2mC2n＋C2nC2k＋C2kC2m个平行四边形．12．设集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)是坐标平面上的点，a，b∈M.(1)P可以表示多少个平面上的不同的点？(2)P可以表示多少个第二象限内的点？(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？解(1)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有6种，经检验36个点均不相同，由分步乘法计数原理得N＝6×6＝36(个)．(2)分两步，第一步确定横坐标有3种，第二步确定纵坐标有2种，根据分步乘法计数原理得N＝3×2＝6个．(3)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有5种，根据分步乘法计数原理得N＝6×5＝30个．13．如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有多少种？解先涂A、D、E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264(种)．14．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原像，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原像，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？解(1)显然对应是一一对应的，即为a1找像有4种方法，a2找像有3种方法，a3找像有2种方法，a4找像有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0必无原像，1,2,3有无原像不限，所以为A中每一元素找像时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类：A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C24·C12＝12(种)方法；第三类：A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C24·C22＝6(种)方法；第四类：A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C14·C13＝12(种)方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个)．