310取样与取样定理

§3.10~3.11取样与取样定理:本次课讨论的内容为样的类比四、时域取样和频域取内插公式三、连续信号的恢复二、取样定理一、信号的时域取样)(连续离散取样还原(有条件)取样时域频域自然取样理想取样(矩形取样)(冲激取样)低通(掌握)带通(3-42)(了解)模拟语音信号输入反混迭失真滤波器取样量化码化器A/DPCM数字语音信号输出比特流的数字信号模拟信号变成目的:pulsecodemodulation(PCM)Mpegaudiolayer3(mp3)计算机声卡的波形音频如:转换器DA/处理器数字信号转换器AD/入输号信拟模出输号信拟模数字信号处理系统简单框图一.取样的目的及所遇到的问题样取化量问题:1)取样后离散信号的频谱是什么样的？它与未被取样的连续信号的频谱有什么关系？2)连续信号被取样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从取样的信号还原成原始信号？二.时域抽样抽样过程可以看成由原信号f(t)和一个开关函数p(t)的乘积来描述。1)矩形脉冲的抽样(自然抽样)此时的抽样脉冲p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t)抽样信号在抽样期间脉冲顶部随f(t)变化，故这种采样称为“自然抽样”。)()()(tptftfs时域抽样简图连续信号f(t)抽样脉冲p(t)抽样信号量化编码数字信号)(tfs)(数据。取样就是周期性的采集*抽样信号频谱推导：令模拟带限信号傅立叶变换为,即抽样脉冲序列的傅立叶变换为设抽样为均匀抽样，周期为Ts，则抽样角频率为sssTf22由于p(t)是周期信号，可知p(t)的傅立叶变换为:)(2)(nsnnPp其中(参看p157.3-100))2()(122ssTTtjnsnnSaTEdtetpTPsss)(F)()(Ftf)()(Ptp由频域卷积定理得，时域相乘的傅立叶变换等于它们的频谱在频域里相卷积。)()(21)(PFFs把计算出的代入上式得：)()2()(snsssnFnSaTEF上式表明:信号在时域被抽样后，它的频谱是连续信号的频谱以抽样频率角为间隔周期地重复而得到的。在重复过程中，幅度被抽样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权，加权系数取决于抽样脉冲序列的形状。(p157图3－50))(p)(sF)(Fs由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，幅度以Sa函数的规律变化。从的频谱图可见抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而呈Sa函数分布。－wmwmF(w)w1EwsFs(w)wwmws抽样前频谱抽样后频谱)(Fs(1)如果抽样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分析简化。(2)通过冲激抽样的方法来表明数字信号在数字信号处理中有着广泛的应用。(点抽样；均匀抽样)mms*抽样率的选择msmsf21或Tω2ω结语：抽样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。冲激信号矩形脉冲时若0数：表示为一系列的冲激函２）冲激抽样(参看p157)若抽样脉冲是冲激序列，此时称为“冲激抽样”或“理想抽样”。设Ts为抽样间隔，则抽样脉冲为)()()(nsTnTtttp由于T(t)的傅立叶系数为:221)(1sssTTstjnwTsnTdtetTP所以冲激抽样信号的频谱为：nsssnFTF)(1)(上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数Pn为常数，所以是以为周期等幅地重复，如下图所示：抽样前信号频谱抽样后信号频谱下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结：)(F)(sFmmsssT1)(Fs时域理想抽样的傅立叶变换)(1)(snssnFTF)(tf)(FFT相卷积21FT)()(nsTnTttnssnp)()(FT相乘)(2)(snnnPp2)(122ssTTtjnsnnSaTEdtetpTPsss关于非理想抽样)(*)(21)(pFFs)(2)(snsssnFnSaTEF)(1)(snssnFTF理想抽样非理想抽样)()()(nsTnTtttp)()(snnTtGtpnssnp)()()(2)(snnnPp2ssnnSaTEPsnTP1)(1)(snssnFTF)(2)(snsssnFnSaTEF)(*)(21)(pFFs)(*)(21)(pFFs理想抽样自然抽样.2..21.2.21..msmsmmsmdSpaceNyquistfTdrateSamplingNyquistfcfTfba至少抽样两次，即周期间隔内，分量的全部信息，一个为了保留信号最高频率人为取的。信号本身固有的，性质不同。分量电平的样的重要差别在于频谱矩形脉冲抽样和冲激抽)()()()()21()(.tfjFtfjFfkfkTfesSm唯一唯一*结语f.不满足抽样定理时产生频率混叠现象sT)(sF0)(tf0tsT1ssmm)(1F00ts)(tfsTssT1)(1F0sssT1ms2设有一连续信号f(t)，它的频谱则只要抽样间隔满足，连续信号f(t)就可表示为：nmmmnTtnTtnTftf)()](sin[)()(三.抽样定理(定理一))(jFm1其它0mTFs(w)mmmm)(F证明：由于f(t)的频带有限,而时域抽样必导致频域周期。在周期重复时，为保证内为，则重复周期应满足,将抽样信号通过截止频率为的理想低通滤波器，便能从中恢复,也就是说，能从抽样信号fs(t)中恢复m)(Fmsm)(sF复原始信号f(t)。设、,则当通过截止频率为的理想低通滤波器时，滤波器的响应频谱为，显然滤波器的作用等效于一个开关函数同的相乘。)()(2sFGFm由时域卷积定理知：)()()(tgtftfs由傅立叶变换的对称性可知：)()()(2tSatgGmmm而nnsnTtnTfnTttftf)()()()()()F(f(t))()(fssFt)(sFm)F(m2G)(sF则（内插公式）nmmsnTtnTftSatftgtf)()()()()()(nmmmnmmnTtnTtnTfnTtSanTf)()](sin[)()]([)(证毕上式表明f(t)可以展开为正交的抽样函数的无穷级数。且级数的系数等于抽样值f(nTs),这样，若在抽样信号fs(t)的每个抽样值上画一个峰值为f(nTs)的Sa函数的波形，合成的波形就是f(t).另外，我们知道：Sa函数的波形就是理想低通滤波器的冲激响应h(t)，这样，若fs(t)通过理想低通滤波器，那么每一个抽样值产生一个冲激响应h(t)，这些响应进行叠加便得到f(t)，从而达到恢复信号的目的。Tsfs(t)Tsh(t)Tsf(t)卷积1H(w)相乘)(sFmsm)(Fcttt相卷由抽样信号恢复原连续信号)(F取主频带：时域卷积定理：)()()(HFFs)]([)()(*)()(scsncsnTtSanTfthtftf)()(tSathcc)()()(nsssnTtnTftf定理二：设f(t)是一带限连续信号，最高频率为,根据定理一对f(t)进行抽样，得f(nT)，则f(nT)经过一个频率响应为如图的理想低通滤波器后便得到f(t).(自证)H(jw)wwc-wc10由于定理二是讨论由离散信号恢复成连续信号，所以又称重建定理。m三.频域抽样但反之不一定成立如：白噪声时域抽样与频域抽样的对称性频域有限时域无限时域有限频域无限f(t)以ws为周期重复f(t)以T为周期重复sT)(jFs)(jF离散性与周期性.)2()()2()(1111ssTTT时域离散频域周期频域离散时域周期*频域抽样定理若信号为时限信号，它集中在的时间范围内，若在频域中，以不大于的频率间隔对的频谱进行抽样，则抽样后的频谱可以唯一地表示原信号。)(tfmmttmt21)(tf)(F)(1F根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理)(2)(snsnTSanFF)]([)()(scsncnTtSanTftf偶函数变量置换Ts2*频域抽样后的时间函数)(F0)()1()(1F0相乘)(tf0tIFTIFT1)(tT11)(tf0tIFT卷积1111T1T0t11101)(F)()(1nn)()()(1FF)(tfIFT)(1)(11nnTtpIFT)(1*)()(11ttftfTnnTtftf)(1)(111IFT抽样定理小结时域对抽样等效于频域对重复时域抽样间隔不大于。频域对抽样等效于时域对重复频域抽样间隔不大于。满足抽样定理，则不会产生混叠。)(F)(tf)(tf)(Fmt21m21*一余弦信号的周期为T0，用Ts=T0/12的时间间隔对它进行理想抽样，求抽样信号的频谱。)]()([cos000t)(jFs)]()([cos:000t解拓。为频域周期的周期性延使其频谱进行以对它进行抽样，也就是)12(24200TTTTsss立叶变换的任务。者相反，这就是离散傅域离散样点，或由时域离散样点得出频个样点频域处理个样点时域处理212求和公式Poisson)(2)()(1111nFeFtfnjFTFnntjnnnntjnnn1e)jn(FT1)nTt(f)t(f)2(1)(0nTjFTnTftnn时：关系值和频域样点值之间的它表达了信号时域样点.NyqistNyquist,)t21(f)t2(f:),(F,,)t(fm间隔抽样频率和的带宽，求如图所示其频谱为频带宽度为为带限信号设)(Fm－8m＝b),2(F21)(F)t2(f:1其频谱如图解1162m＝m2－)(F)t2(f1图bS16f1TNyquistHz16242fNyquists/rad32422Nyquists/rad16822NNmNNmmNm间隔频率角频率为频带宽度·c),2(F2)2/1(F2/11)(F)t21(f2其图如)(F)]t21(f[F22m图cS4f1TNyquistHz422fNyquists/rad8212Nyquists/rad421NNmNNmmNm间隔频率角频率为频带宽度·183.342:p带通抽样)(F00122122211212,2ss率而不混迭所以最低抽样两个波形之间插入到时，在－，＝解：当的整数倍抽样率只能是而非最低抽样率点差异：带通抽样与低通抽样两222.22,.1ss121112121121112