2016年高三数学(理)创新设计资料包阶段回扣练4

课件园三角函数、解三角形(建议用时：90分钟)一、选择题1．下列函数中周期为π且为偶函数的是()A．y＝sin2x－π2B．y＝cos2x－π2C．y＝sinx＋π2D．y＝cosx＋π2解析y＝sin2x－π2＝－cos2x为偶函数，且周期是π，故选A.答案A2．(2014·包头市测试)已知sin2α＝23，则sin2α＋π4＝()A.13B.12C.34D.56解析依题意得sin2α＋π4＝12(sinα＋cosα)2＝12(1＋sin2α)＝56，故选D.答案D3．(2015·合肥检测)函数f(x)＝3sin2x＋cos2x图象的一条对称轴方程是()A．x＝－π12B．x＝π3C．x＝5π12D．x＝2π3解析依题意得f(x)＝2sin2x＋π6，且f2π3＝2sin2×2π3＋π6＝－2，因此其图象关于直线x＝2π3对称，故选D.答案D4．(2015·天津南开模拟)当0＜x＜π4时，函数f(x)＝cos2xcosxsinx－sin2x的最小值是()A.14B.12C．2D．4课件园＜x＜π4时，0＜tanx＜1，f(x)＝cos2xcosxsinx－sin2x＝1tanx－tan2x.设t＝tanx，则0＜t＜1，y＝1t－t2＝1t（1－t）≥1t＋1－t22＝4，当且仅当t＝1－t，即t＝12时，等号成立．答案D5．(2014·南昌模拟)已知函数f(x)＝cosωx(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝sinωx＋π4的图象，只要将y＝f(x)的图象()A．向左平移π8个单位长度B．向右平移π8个单位长度C．向左平移π4个单位长度D．向右平移π4个单位长度解析依题意得2πω＝π，ω＝2，f(x)＝cos2x，g(x)＝sin2x＋π4＝cosπ4－2x＝cos2x－π4＝cos2x－π8，因此只需将y＝f(x)＝cos2x的图象向右平移π8个单位长度．答案B6．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为()A．500(3＋1)mB．500mC．500(2＋1)mD．1000m解析过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理，得AB＝ADsin∠ADBsin∠ABD＝1000sin150°sin15°＝500(6＋2)(m)课件园△ABC中，BC＝ABsin45°＝500(3＋1)(m)．答案A7．(2015·湖北七市(州)联考)将函数g(x)＝3sin2x＋π6图象上所有点向左平移π6个单位，再将各点横坐标缩短为原来的12，得到函数f(x)，则()A．f(x)在0，π4上单调递减B．f(x)在π4，3π4上单调递减C．f(x)在0，π4上单调递增D．f(x)在π4，3π4上单调递增解析依题意，将函数g(x)的图象向左平移π6个单位长度得到的曲线方程是y＝3sin2x＋π6＋π6＝3cos2x，再将各点横坐标缩短为原来的12，得到的曲线方程是y＝3cos4x，即f(x)＝3cos4x，易知函数f(x)＝3cos4x在0，π4上单调递减，故选A.答案A8．(2014·乌鲁木齐诊断)在△ABC中，AC·cosA＝3BC·cosB，且cosC＝55，则A＝()A．30°B．45°C．60°D．120°解析由题意及正弦定理得sinBcosA＝3sinAcosB，∴tanB＝3tanA，∴0＜A，B＜π2，又cosC＝55，故sinC＝255，∴tanC＝2，而A＋B＋C＝180°，∴tan(A＋B)＝－tanC＝－2，即tanA＋tanB1－tanAtanB＝－2，将tanB＝3tanA代入，得4tanA1－3tan2A＝－2，∴tanA＝1或tanA＝－13，而0°＜A＜90°，则A＝45°，故选B.答案B课件园．已知函数f(x)＝3sin2x＋cos2x－m在0，π2上有两个零点，则m的取值范围是()A．(1，2)B．[1，2)C．(1，2]D．[1，2]解析利用三角函数公式转化一下，得f(x)＝2sin2x＋π6－m，它的零点是函数y1＝2sin2x＋π6和y2＝m的交点所对应的x的值，∴要在0，π2上有两个零点，y1和y2就要有两个交点，结合函数y1＝2sin2x＋π6在0，π2上的图象，知当y2＝m在[1，2)上移动时，两个函数有两个交点．答案B10．(2014·天津卷)已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为()A.π2B.2π3C．πD．2π解析f(x)＝3sinωx＋cosωx＝2sinωx＋π6，由2sinωx＋π6＝1，得sinωx＋π6＝12，设x1，x2分别为距离最小的相邻交点的横坐标，则ωx1＋π6＝2kπ＋π6，ωx2＋π6＝2kπ＋5π6(k∈Z)，两式相减，得x2－x1＝2π3ω＝π3，所以ω＝2，故f(x)＝2sin2x＋π6的最小正周期为π，故选C.答案C二、填空题11．已知sinα＋π4＝7210，α∈π4，π2，则cosα＝________．解析∵α∈π4，π2，∴α＋π4∈π2，3π4，课件园∴cosα＋π4＝－1－sin2α＋π4＝－1－72102＝－210，∴cosα＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sinπ4＝－210×22＋7210×22＝35.答案3512．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝14a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．解析由已知及正弦定理得2b＝3c，因为b－c＝14a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝－14.答案－1413．如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2图象的一部分，则其函数解析式是________．解析由图象知A＝1，T4＝π6－－π3＝π2，得T＝2π，则ω＝1，所以y＝sin(x＋φ)．由图象过点π6，1，可得φ＝2kπ＋π3(k∈Z)，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以所求函数解析式是y＝sinx＋π3.答案y＝sinx＋π314．(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．解析由已知sinA＋2sinB＝2sinC及正弦定理可得a＋2b＝2c.又由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a＋2b222ab＝3a2＋2b2－22ab8ab课件园≥26ab－22ab8ab＝6－24，当且仅当3a2＝2b2，即ab＝63时等号成立，所以cosC的最小值为6－24.答案6－2415．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．解析由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，又A∈(0，π)，所以A＝π3，又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，即bc≤4，故S△ABC＝12bcsinA≤12×4×32＝3，则△ABC面积的最大值为3.答案3三、解答题16．(2014·福建卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－12.(1)若0απ2，且sinα＝22，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解法一(1)因为0απ2，sinα＝22，所以cosα＝22.所以f(α)＝2222＋22－12＝12.(2)因为f(x)＝sinxcosx＋cos2x－12＝12sin2x＋1＋cos2x2－12＝12sin2x＋12cos2x课件园＝22sin2x＋π4，所以T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.法二f(x)＝sinxcosx＋cos2x－12＝12sin2x＋1＋cos2x2－12＝12sin2x＋12cos2x＝22sin2x＋π4.(1)因为0απ2，sinα＝22，所以α＝π4，从而f(α)＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.(2)T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.17．(2014·北京卷)如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，课件园∠ADC＝437.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC＝7.18．(2014·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sinAcosA－3sinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA＝45，求△ABC的面积．解(1)由题意得1＋cos2A2－1＋cos2B2＝32sin2A－32sin2B，即32sin2A－12cos2A＝32sin2B－12cos2B，sin2A－π6＝sin2B－π6.由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－π6＋2B－π6＝π，即A＋B＝2π3，所以C＝π3.(2)由c＝3，sinA＝45，asinA＝csinC，得a＝85.由ac，得AC，从而cosA＝35，课件园＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝4＋3310，所以，△ABC的面积为S＝12acsinB＝83＋1825.1