41高阶线性微分方程的

1§4.1高阶线性微分方程的一般理论/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE2理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求/Requirements/§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE3n阶线性微分方程一般形式：).()()()()(141111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn其中),,2,1)((nitai)(tf及是区间bta上的连续函数。称它为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。).()()()(2401111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn4.1.1引言/Introducation/n阶微分方程一般形式：0),,,,()(nxxxtF§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE4方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：定理1),,2,1()(nitai及)(tf都是区间bta则对于任一],[0bat及任意的,,,)1(0)1(00nxxx方程（4.1）存在)(tx，定义于区间上的连续函数,bta)3.4()(,,)(,)()1(0101)1(0000nnnxdttdxdttdxt唯一解如果).()()()()(141111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE54.1.2齐线性方程解的性质与结构定理2（叠加原理）如果)(,),(),(txtxtxk21则它们的线性组合)()()(2211txctxctxckk的解，这里kccc,,,21是任意常数。是方程（4.2）也是（4.2）的k个解，例)0(0222为常数wywdxyd有解wxycoswxysinwxCysin2wxCycos1wxCwxCysincos21).()()()(2401111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE6证明)2.4(0)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn)(2211)]()()([nkktxctxctxc)1(22111)]()()()[(nkktxctxctxcta)]()()()[(2211txctxctxctakkn])()()([111111111xtadtdxtadtxdtadtxdcnnnnnn])()()([221121122xtadtdxtadtxdtadtxdcnnnnnn])()()([knknnknnknkxtadtdxtadtxdtadtxdc11110§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE7问题：nk时，若)()()(2211txctxctxcxnn能否成为方程（4.2）的通解？wxycos1wxycos52wxCwxCycos5cos21不一定不包含解wxCysin2要使)()()(2211txctxctxcxnn为方程（4.2）的通解)(,),(),(txtxtxn21还需满足一定的条件。?当)(,),(),(txtxtxn21是齐线性方程的解，如在上例中§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE8函数线性无关和相关定义在bta)(,),(),(21txtxtxk上的函数，如果存在kccc,,,21使得恒等式不全为零的常数0)()()(2211txctxctxckk对所有bat,成立，称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。,cosxxsin如),(在区间上线性无关,cos2x1,sin2x),(在区间上线性相关nttt,,,,12),(在区间上线性无关),(ttctctccnn02210要使得则0210ncccc§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE9)()()()()()()()()()1()1(2)1(12121txtxtxtxtxtxtxtxtxkkkkkk定义在bta区间上的k个可微k-1次的函数)(,),(),(21txtxtxk所作成的行列式)(,),(),()(21txtxtxWtWk称为这些函数的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE10定理3)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性相关，],[ba上它们的伏朗斯基行列式0)(tW。则在证明由假设，即知存在一组不全为零的常数,,,,21nccc0)()()(2211txctxctxcnnbta（4.6）0)()()(0)()()(0)()()()1()1(22)1(1122112211txctxctxctxctxctxctxctxctxcnnnnnnnnn（4.7）使得依次对t微分此恒等式，得到若函数nccc,,,21的齐次线性代数方程组，关于§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE11它的系数行列式,)(,),(),(21txtxtxWn方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即0)(tWbta由线性代数理论证毕其逆定理是否成立？例如：10010)(21ttttx10010)(22ttttx即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。不一定§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE12)(),(21txtxW10010)(21ttttx10010)(22ttttx10020001002022tttttt10000100)()(2212212211ttcctctctxctxc021cc]1,1[t故)(),(21txtx是线性无关的。§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE13如果方程(4.2)的解)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性无关，则)(,),(),(21txtxtxWn任何点上都不等于零，即0)(tWbta在这个区间的定理4设有某个,0tbta0，使得0)(0tW考虑关于nccc,,,21的齐次线性代数方程组证明反证法0)()()(0)()()(0)()()(0)1(0)1(220)1(1100220110022011txctxctxctxctxctxctxctxctxcnnnnnnnnn（4.9）§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE14其系数行列式0)(0tW，故（4.9）有非零解nccc~,,~,~21构造函数)(~)(~)(~)(2211txctxctxctxnnbta根据叠加原理，是方程（4.2）的解，且满足初始条件)(tx0)()()(0)1(00txtxtxn0x由解的唯一性知)(tx0bta，即0)(~)(~)(~2211txctxctxcnn因为nccc~,,~,~21不全为0，与)(,),(),(21txtxtxn的假设矛盾。（4.10）另也是方程(4.2)的解，bta线性无关证毕也满足初始条件（4.10）§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE15定理5n阶齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解，0)(,),(),(00201txtxtxWn)(,),(),(21txtxtxn线性相关,0tbta0定理4定理3重要结论方程(4.2)的解)(,),(),(21txtxtxn在区间bta上线性无关0)(,),(),(21txtxtxWnbta的充分必要条件是且任意n+1个解都线性相关。证明),,2,1()(nitai在上连续，取bta],[0bat)(,,)(,)()1(00)1(0000nnxtxxtxxtx则满足条件存在唯一。§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE160)(,,0)(,1)(0)1(00txtxtxn)(1tx0)(,,1)(,0)(0)1(00txtxtxn)(2tx1)(,,0)(,0)(0)1(00txtxtxn)(txn01)(,),(),(021EtntxtxtxW)(,),(),(21txtxtxn线性无关。即齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。)(),(,),(),(121txtxtxtxnn任取方程(4.2)的n+1个解，§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE17)()()()()()()()()()()(1)(2)(1121121txtxtxtxtxtxtxtxtxtWnnnnnn121121()()()12111()()()()()()0()()()nnnnninniiiniixtxtxtxtxtxtaxtxtaxt任意n+1个解都线性相关。§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE18定理6（通解结构）)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnn其中nccc,,,21是任意常数，且通解（4.11）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）包括方程（4.2）的所有解。方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。如果n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。作业：§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE194.1.3非齐线性方程与常数变易法性质1如果)(tx是方程（4.1）的解，而)(tx（4.2）的解，则)()(txtx性质2方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。是方程也是方程（4.1）的解。).()()()()(141111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn).()()()()()(240111xtaxtaxtaxnnnn))(())(())(()()()(xxtaxxtaxxtaxxnnnn111])()()([])()()([)()()()(xtaxtaxtaxxtaxtaxtaxnnnnnnnn111111)(tf§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE20是任意常数，且通解（4