2第二章计量经济学的统计学基础知识

第二章统计学基础知识第一节常用的统计量——平均数、方差第二节常用的概率分布复习：什么是计量经济学？计量经济学与其他学科有什么关系？计量经济学研究现实问题的程序是什么？第一节常用的统计量——平均数、方差一、算术平均算术平均（arithmeticmean）就是我们日常生活中使用的普通的平均数，其定义如下式：nXnXXXXn21二、加权算术平均加权平均（weightedarithmeticmean）是将各数据先乘以反映其重要性的权数（w），再求平均的方法。其定义如下式：wX212211三、变化率变化率的定义如下式：),3,2(11ntXXXttt四、几何平均几何平均（geometricmean）是n个数据连乘积的n次方根，其定义如下式：nnXXXG21五、移动平均所谓移动平均（movingaverage），就是对时间序列数据的前后数据求平均，将不必要的变动（循环变动、季节变动和不规则变动）平滑（smoothing），也即剔除这些变动，从而发现长期变化方向的一种方法。通常，移动平均大多用简单的奇数项来计算，下面是3项移动平均和5项移动平均的定义。3项移动平均：311ttttXXXX5项移动平均：52112ttttttXXXXXXEXCEL演示三项移动平均五项移动平均六、方差与标准差为了了解数据的结构，有必要考察数据的集中趋势和分散的程度。对于集中的趋势，我们从前面学习过的算术平均中已经大体有所了解，而对于分散的程度，通过对方差（variance）与标准差（standarddeviation），以及下一节将要介绍的变动系数的计算，能够得到很多信息。方差的计算方法是，先将每个数据与算术平均数之差（即离差）的平方相加求和，再除于样本数减一。而标准差是方差的正的平方根。由于方差是通过平方计算的，它与原数据的次数有所不同，而标准差由于是方差的平方根，因而又与原数据的次数相同。因此，标准差与原数据的单位相同，而方差则不附加单位。方差S2的定义分别如下式（样本）：1)()()(222212nXXXXXXsn2)(11XXni标准差S的的定义分别如下式：2SS方差七、变动系数变动系数（coefficientofvariation）又称变异系数，它用标准差S除于算术平均数的商来表示。变动系数CV的定义如下式：XSCV算术平均数标准差八、标准化变量标准差变量（standardizedvariable）,又称基准化变量，它是用来测量某个数据的数值与算术平均数的偏离程度，是标准差s的多少倍。借此可以看出该数据在全体数据所处的位置。标准化变量z的定义如下式：sXXXz标准差算术平均数九、相关系数所谓相关系数（correlationcoefficient）是用来测量诸如收入与消费、气温和啤酒的消费量、汇率与牛肉的进口价格等两个变量X、Y之间的相互关系的大小和方向（正或负）的系数。通过计算相关系数，可以知道X与Y之间具有多大程度的线性（linear）关系。相关系数R的定义如下式：22)()())((YYXXYYXXR2222)()(YYnXXnYXXYn相关系数的R的取值范围为，R的取值具有以下的不同含义：（1）R=1完全正相关（perfectpositivecorrelation）（2）R0正相关（positivecorrelation）（3）R=0不相关（nocorrelation）（4）R0负相关（negativecorrelation）（5）R=-1完全负相关（perfectnegativecorrelation）为什么会有上述结果？请结合公式思考。第二节常用的概率分布经济计量模型研究具有随机性特征的经济变量关系。本节将对数理统计中常用的随机变量分布及一些概念作一简单回顾。一、概率分布二、总体与样本三、正态分布四、抽样分布一、概率分布随机变量在各个可能值上出现的概率的大小的情况，叫概率分布。概率分布可用概率函数描述。离散性随机变量X的可能取值为xi，P为概率，则概率函数为P（X=xi）i=1,2,3,…n概率函数满足P（X=xi）≥0；1)(1niixXP一、概率分布连续性的随机变量概率函数1)(0)()()(dxxfxfxfxdxxfbXaPbaba；函数满足条件为概率密度函数。密度其中）（dxxfxXPxFxXPxFxFxxXxixxii)()()()()(.连续性随机变量，离散性随机变量，）（的函数，记为值的累积概率是取小于某个随机变量率的累积，即数表示。分布函数是概概率分布还可用分布函二、总体与样本数理统计中把所研究对象的全部单位所组成的集合，叫做总体。从总体中抽出的部分单位所组成的集合，叫做样本。三、正态分布当连续的随机变量的概率密度函数形式为时，称X的分布为正态分布,记为X～，密度函数中和是X的数学期望和方差。222)(21)(xexf），（2N2三、正态分布（总体分布）当和时，称X服从标准正态分布，记为X～。对于非标准正态分布的X，总可以作如下变换，，使Z服从标准正态分布。012），（10NXZ-4-3-2-101234四、抽样分布1、分布2、t分布3、F分布注：正态母体子样分布性质：2iiiiiaUDaUEXaUX22)()(子样是来自正态母体的随机1、分布22niiX122)(统计量定义为Xi符从正态分布。xi服从标准正态分布，服从自由度为n的卡方分布，卡方分布其实就是残差平方和。niix12222000)()2(21)(2212222222当当nnnneng分布的密度函数为：nnE22）（nnD22)(22其数学期望其方差为，2S2统计量的条件，所以服从自由度为n-1的分布。2S2样本方差符合N=4N=15如果随机变量X服从标准正态分布N（0，1）；随机变量服从自由度为n、方差为2n的分布。并且X和相互独立，则统计量：222nXt2服从t分布（注：可以将分子理解为符合正态分布的参数，分母看作其标准差。2、t分布t分布的密度函数为212)1()2()21()(nnntnnntf其数学期望E（t）=0，方差22nnt分布的特点是：左右对称；当n很大时，非常接近正态分布。对于从标准正态分布中的总体中抽的容量为n的简单随机样本，其样本均值与样本标准差S构成如下统计量。x1/nSxt服从自由度为n-1的t分布，记为t～t(n-1)。注意：这里的分母是子样标准差除以自由度，实际上是子样均值的标准差！只有这样才与分子保持一致性。分子被平均了，分母当然也要平均！t分布在小样本（n30）统计推断中占有重要的地位。T分布图形：正态分布相当于标准差为1的t分布。而t分布的标准差多小于1。因而出现这种尾部肥大的现象。正态分布T分布如果随机变量Xi(i=1,2,3,…n),Yi(i=1,2,3,…n)是相互独立的，而且服从相同的正态分布。令3、F分布），（2N222212213,2,1,)(3,2,1,)(niYYSniXXSii)1/()1/(222121nSnSF11n12n11n12n则统计量服从第一自由度、第二自由度的F分布。记为F～F(,)3、F分布注：F分布在方差分析中有着重要的作用。例如判断两个正态分布总体的方差是否有显著差异，需要利用F分布。其分子与分母其实是两个方差，在进行回归检验时正是利用F函数这个特点。F分布图形例1：正态分布检验设甲、乙两台机床生产同类型产品，其产品重量分别服从方差为70克（）与90克（）的正态分布。从甲机床中随机地取出35件，其平均重量是137克，独立地从乙机床随机取出45件，其平均重量130克，问在显著性为0.01时，两台机床的产品就重量而言有无显著差异？2122解：理论：1222221102211212211212221112112102211222111}{)1,0(~,)1,0(~)(),(~),(~),,(~:;:,),(~),(~H，uU，uuUPNnnYXUrightHifNnnYXUnnNYXnYnNXHHifNYNX则接受如果查附表知已知0005.0222211,58.25.358.2,01.05.34590357013013790,130,4570,137,35Huuynxn拒绝例2：比较两种安眠药A、B的疗效，以10个患者为实验对象，数据如下：患者12345678910X1.90.81.10.1-0.14.45.51.64.63.4Y0.7-1.6-0.2-1.2-0.13.43.70.802z=x-y1.22.41.31.3011.80.84.61.4问：在显著性水平为0.01时，两种药的疗效是否相同？（T分布）解：由于患者相同，可以建立z变量，然后假设z的均值是0，对其进行t单侧检验即两种药效不同接受拒绝,062.425.3)9(062.439.058.11/,01.00:0:),(~1001.0102H，HtnsztHHNzYXz25.3)9(001.0t062.41/2nszt例3（卡方分布）：设已知维尼纶纤度在正常生产条件下服从正态分布N（1.405,0.002304)。在生产某段时间，抽取了5根纤维，测得其纤度为1.32,1.55,1.36,1.4,1.44.问该段时间母体方差是否正常？（显著性水平是0.1）解：纤度方差有变化拒绝，HxxnsxnHi22020295.02295.0205.02202202222020048.0:)4(488.9)4(,711.0)4(5.13048.00312.0)(414.1,5048.0:9.4913.5例4（F）：甲乙两台机床加工同一种轴。从这两台机床加工的轴中随机抽取若干根，没得直径（单位为毫米）为：假定各台机床加工轴的直径分别服从正态分布，试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异。显著性取0.05（拒绝原假设水平）。如果是单侧检验呢？机床甲20.519.719.820.420.1201919.9机床乙`9.720.820.519.819.420.619.2解：0025.0025.012*22*1212*22*22*2212*1122210),7,6(17.5)7,6(84.1216.0397.01,)1,1(~397.0,20,7216.0,93.19,8:HFFFssFFbecausennFssFsxnsxnH接受F分布图形17.5)7,6(025.0F84.1216.0397.012*22*ssF作业：例2：显著性改为0.02时，问两种药的疗效是否相同；例4：显著性取0.01时，两种机床的加工精度有无区别？重点理解什么是显著性？显著性解释数理统计中的显著性是划分原假设与备择假设界线，一般是原假设成立是1-；在软件中给出的显著性可以看作是原假设成立的概率。显著性越小，即原假设正确的错误的概率越小。