4.1.2圆的一般方程(轨迹问题)解析

高一数学必修2第四章圆与方程§4.4.1轨迹问题【答】线段AB的垂直平分线。复习引入【思考1】平面内到一定点A的距离等于定长的点M的轨迹是什么？【思考2】平面内与两定点A、B距离相等的点M的轨迹是什么？AABMrM|MA|=r|MA|=|MB|【答】以定点A为圆心，定长r为半径的圆。【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.yxoABM典型例题【分析】设M(x,y),因为M是AB的中点，(4,3)(x,y)(x0,y0)所以004232xxyy解得002423xxyy又因为点A在圆(x+1)2+y2=4上，所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,得2233()()122xy为所求。A(x0,y0)相关点法【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.yxoABM【小结】这种求轨迹方程的方法叫相关点法。【分析】设M(x,y),因为M是AB的中点,B(4,3)，(4,3)(x,y)所以点A的坐标为又因为点A在圆(x+1)2+y2=4上，所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,得2233()()122xy为所求。(2x-4,2y-3)(2x-4,2y-3)也叫动点转移法，或叫代入法。注意：求轨迹方程，第一步往往设所求动点坐标为(x,y).【练习】已知线段AB的端点B的坐标是(4,0),端点A在圆x2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.yxoABM典型例题(x-2)2+y2=1(x,y)(2x-4,2y)【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.yxoABMC典型例题D1||||12MDAC得2233()()122xy为所求。1403(,)22DM的轨迹是以D为圆心，1为半径的圆,【分析2】【反思】定义法，相当漂亮！【变式】过点P(4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状。yxoABM典型例题PPyxoABM典型例题【变式】过点P(4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状。OMMPPyxoABM典型例题【变式】过点P(4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状。(x-2)2+y2=4(0≤x1)PyxoABM典型例题【变式】过点P(4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状。(x-2)2+y2=4(0≤x1)OMMP轨迹是圆(x-2)2+y2=4夹在圆x2+y2=4内的圆弧。C【反思】与垂直有关的问题，可考虑勾股定理或斜率关系，或利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”这个性质（注意讨论特殊情形）。典型例题【例2】已知动点M与两定点P(8,0)、Q(2,0)距离之比为2，求点M的轨迹方程。【分析】设M(x,y),由|MP|=2|MQ|得2222822xyxy化简得2216xy直译法【变式】已知两定点A,B间距离为6，动点M与A,B距离之比为2，求点M的轨迹方程。典型例题yxO-3A3BMC22-516xy（）注意：建系不同，答案不同，因此建系要恰当，考虑对称、尽量多落在标轴上.【拓展】已知两定点A,B间距离为6，动点M与A,B距离之比为2，则△MAB面积的最大值为？典型例题yxO-3A3BMC22-516xy（）反思：坐标法思想，秒！12小结：1.求轨迹方程时，一般应数形结合，即充分运用几何图形的性质将形的直观与数的严谨有机结合起来。2.求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等。3.求轨迹方程的步骤：①建系设点（x,y）;②列式代入；③化简检验.(P124,B1)等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.解:设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得:|AC|=|AB|,由两点间距离公式得,平方整理得,(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆,但A､B､C为三角形的顶点,∴A､B､C三点不共线.当B与C重合时,C(3,5),当BC为直径时,C(5,-1),2222(4)(2)(43)(25)xy10∴端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10().故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,为半径的圆,但要除去(3,5)和(5,-1)两点.如下图所示.10355-1xxyy且•规律技巧:在求轨迹方程时,必须考虑C点是三角形的一个顶点,故A､B､C不能共线,这一点容易造成失误,应引起高度重视.解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合}21|||||{AMOMM由两点间的距离公式，得21)3(2222yxyx化简得x2+y2+2x3＝0①这就是所求的曲线方程．把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆.xyMAOC直译法(P124,B3)已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.12(P124,B2)长为2a的线段AB的两个端点分别在相互垂直的两条直线上滑动，则线段AB的中点轨迹为?BAM222xya2.定义法;轨迹的常用求法:1.直译法;Ｏxy【课堂练习】1.已知Rt△ABC中，A(-1,0),B(3,0),(1)求直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程。3．ABC△的顶点B，C的坐标分别是3,1，2,1，顶点A在圆22244xy上运动，求ABC△的重心G的轨迹方程．2244139xyx2+y2-2x-3=0(y≠0)(x-2)2+y2=1(y≠0)知识探究二：圆的直径方程思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如何求以线段AB为直径的圆方程？思考2:一般地，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆方程如何？AxoyBP例5.已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1)、B(x2，y2).证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0AB•C•P解法一：求圆心、求半径解法二：相关点法P点满足PA⊥PB即12211xxyyxxyy举例1、（作书上）P123练习：1，2，3.2、（作业本）P124习题4.1A组：4.B组：2，3.【作业】