2014年高考数学陕西卷理科第18题解法赏析

12014年高考数学陕西卷理科第18题:在直角坐标系xOy中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(CBA，点),(yxP在ABC三边围成的区域（含边界）上（1）若0PCPBPA，求OP；（2）设),(RnmACnABmOP，用yx,表示nm，并求nm的最大值.(Ⅰ)解法1：在ABC中，0PAPBPC,所以P为ABC的重心,即P为ABC三条中线的交点，取AB的中点32E（,2），则AB边上中线EC的方程为2y，取AC的中点32F(2,)，则AC边上中线BF的方程为2x，两直线的交点就是重心P（2,2），故22OP.(陕西省靖边中学赵世念)解法2：由两点间距离公式知=5ABAC，所以ABC为等腰三角形，则重心P必在底边BC的高线yx上，设点(,)Ptt，由重心的性质知3232PCtPEt，解得2t，故22OP.(西北工业大学附属中学焦小龙；陕西省靖边中学赵世念)(Ⅱ)解法1：将OPmABnAC坐标化(,)(1,2)(2,1)xymn，整理得2xmn，2ymn，两式作差可得+mnxy，设-1,1M，则(,),(1,1)OPxyOM，记,OPOM,则+=coszxyOMOP，转化为求OP在OM方向上投影的最大值.当点P与点B重合时，OP在OM方向上投影最大将3B(2,)代入得+=1mnxy.(陕西省靖边中学赵世念)解法2：由解法1知+mnxy，xy123123OBCAy=x2令d为点,Pxy到直线+0xy的距离，则2xyd，由图知，点B和点C到直线的距离最大，最大值为22，即222xyd，所以+1xy.(陕西省靖边中学赵世念)解法3：),(RnmACnABmOPnmnmyxACAB2,2,,1,2,2,1,,32,32xynmyxnxym把)2,3(),3,2(),1,1(CBA三点代入，则：.1,1,0nmnm的最大值.为1；（目标函数的最值在可行域的边界处或顶点处取得）.（陕西省武功县5702中学薛博谋）解法4：由(,)OPmABnACmnR得(,)(1,2)(2,1)xymn，所以22mnxmny，解得2323yxmxyn，从而mnyx.因为由题设知点(,)Pxy满足不等式组21021050xyxyxy，又22mnxmny，所以实数,mn满足不等式组13133350mnmn.（*）3111(33)(2)5(2)1333mnmnn，当且仅当33513mnn即4313mn时不等式取等号.故所求mn的最大值为1.(陕西省西安市临潼区马额中学童永奇)解法5：同解法4（*）如图，在mOn坐标系中画出（*）表示的平面区域，令zmn，则通过平移可知：当动直线zmn经过点41E(,)33时，z取得最大值.故所求mn的最大值为41133.（陕西省西安市临潼区马额中学童永奇）