人教版数学必修2直线与方程知识点专题讲义

1必修二直线与方程专题讲义1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x轴相交;ⅱ.x轴正向;ⅲ.直线向上方向.②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.③倾斜角的范围000180.④090,tan0k；90180,tan0k（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.②经过两点),(),,(222111yxPyxP的直线的斜率公式是211221()yykxxxx.③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.2、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式)(11xxkyy),(11yx为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式bkxyk为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式121121xxxxyyyy),(2121yyxx其中),(),,(2211yxyx是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线2截距式1byaxa是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线一般式0CByAx）不同时为其中0,(BAA，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点),(),,(222111yxPyxP的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定）（1）若2121yyxx且，直线垂直于x轴，方程为1xx；（2）若2121yyxx且，直线垂直于y轴，方程为1yy；（3）若2121yyxx且，直线方程可用两点式表示）3、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:lykxblykxb，则有121212//,llkkbb注：当直线12,ll的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行.一般式：已知1111:0lAxByC,2222:0lAxByC，则1212211221//,llABABACAC注：1212211221=,llABABACAC与重合1l与2l相交01221BABA（2）两条直线垂直斜截式：如果两条直线12,ll斜率存在，设为12,kk，则12121llkk注：两条直线12,ll垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,ll中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12ll与互相垂直.3一般式：已知1111:0lAxByC,2222:0lAxByC，则0212121BBAAll4、线段的中点坐标公式若两点),(),,(222111yxPyxP，且线段21,PP的中点M的坐标为),(yx，则222121yyyxxx5、直线系方程（1）过定点的直线系①斜率为k且过定点),(00yx的直线系方程为)(00xxkyy②过两条直线0:1111CyBxAl,0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0)(222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线l2不在直线系中（2）平行垂直直线系①平行于已知直线0AxByC的直线系10AxByC②垂直于已知直线0AxByC的直线系10BxAyC6、两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111CyBxAl,0:2222CyBxAl两条直线的交点坐标就是方程组00222111CyBxACyBxA的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.7、几种距离（1）两点间的距离平面上的两点),(),,(222111yxPyxP间的距离公式21221221)()(yyxxPP特别地，原点)0,0(O与任一点),(yxP的距离22yxOP（2）点到直线的距离4点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离2200BACByAxd（3）两条平行线间的距离两条平行线0:11CByAxl,0:22CByAxl间的距离2212BACCd注：①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算.8、有关对称问题（1）中心对称①若点),(11yxM及),(22yxN关于),(baP对称，则由中点坐标公式得1122ybyxax②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21//ll，由点斜式得到所求直线方程.（2）轴对称①点关于直线的对称若两点),(111yxP与),(222yxP关于直线0:CByAxl对称，则线段21PP的中点在对称轴l上，而且连接21PP的直线垂直于对称轴l上，由方程组1)(0)2()2(12122121BAxxyyCyyBxxA22yx？可得到点1P关于l对称的点2P的坐标),(22yx（其中21,0xxA）②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.注：①曲线、直线关于一直线bxy对称的解法：y换x，x换y.例：曲线50),(yxf关于直线2xy对称曲线方程是0)2,2(xyf②曲线0),(:yxfC关于点),(ba的对称曲线方程是0)2,2(ybxaf9、直线l上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：（1）在直线l上求一点P，使PBPA取得最小值，①若点BA、位于直线l的同侧时，作点A（或点B）关于l的对称点/A或/B,.)(//即为所求点，则点于交或连接PPlABBA②若点BA、位于直线的异侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点.可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）在直线l上求一点P使PBPA取得最大值，方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”①若点BA、位于直线l的同侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点.②若点BA、位于直线的异侧时，作点A（或点B）关于l的对称点/A或/B,.)(//即为所求点，则点于交或连接PPlABBA(3)22PBPA的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”.10、直线过定点问题（1）含有一个未知参数，12)1(axay1)2(xxay（1）令202xx，将3)1(2yx式，得代入，从而该直线过定点)3,2(（2）含有两个未知参数0)2()3(nynmxnm0)12()3(yxnyxm令1203yxyx7371yx，从而该直线必过定点)73,71(.