2014高考数学(理)一轮总复习(人教新课标)配套单元测试第五章平面向量Word版含解析

第1页共10页第五章平面向量单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．与向量a＝(－5,12)方向相反的单位向量是()A．(5，－12)B．(－513，1213)C．(12，－32)D．(513，－1213)答案D解析与a方向相反的向量只能选A，D，其中单位向量只有D.也可用公式n＝－a|a|＝－－5，12－52＋122＝(513，－1213)求得．2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.3π4答案C解析如图，四边形ABCD为平行四边形，△ABC为边长为1的等边三角形，记AB→＝a，AD→＝b，则a与b的夹角为2π3，故选C.3．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，则OC→等于()A．2OA→－OB→B．－OA→＋2OB→C.23OA→－13OB→D．－13OA→＋23OB→第2页共10页答案A解析OC→＝OB→＋BC→＝OB→＋2AC→＝OB→＋2(OC→－OA→)，∴OC→＝2OA→－OB→.故选A.4．已知复数z＝1＋2i23－4i，则1|z|＋z等于()A．0B．1C．－1D．2答案A解析z＝1＋2i23－4i＝4i－33＋4i25＝－16－925＝－1，所以1|z|＋z＝1－1＝0.故选A.5．（2013·上海模拟）对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数32－12i的“错位共轭”复数为()A．－36－12iB．－32＋32iC.36＋12iD.32＋32i答案D解析方法一由(z－i)(32－12i)＝1可得z－i＝132－12i＝32＋12i，所以z＝32＋32i.方法二(z－i)(32－12i)＝1且|32－12i|＝1，所以z－i和32－12i是共轭复数，即z－i＝32＋12i，故z＝32＋32i.6．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于()A．(2,1)B．(1,0)C．(32，12)D．(0，－1)第3页共10页答案A解析设c＝(x，y)，由(c＋b)⊥a，(c－a)∥b可得x＋1－y－2＝0，y＋1＝2x－1，解得x＝2，y＝1，因此c＝(2,1)．7．已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝7，〈a，b〉＝π3，则|b|＝()A．2B．3C.3D．4答案A解析由|a＋b|＝7，可得|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×|b|cosπ3＋|b|2＝7，所以|b|2＋|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－3(舍去)．故选A.8．若O为平面内任一点且(OB→＋OC→－2OA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC是()A．直角三角形或等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形但不一定是直角三角形D．直角三角形但不一定是等腰三角形答案C解析由(OB→＋OC→－2OA→)(AB→－AC→)＝0，得(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0.∴AB2→－AC2→＝0，即|AB→|＝|AC→|.∴AB＝AC.9．设a＝(4,3)，a在b上的投影为522，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为()A．(2,14)B．(2，－27)C．(－2，－27)D．(3,6)答案B解析方法一(验证排除法)第4页共10页∵b在x轴上的投影为2，∴b的横坐标为2，排除C，D项；又|b|≤14，排除A项；故选B.方法二设向量b＝(2，y)，由题意得a·b|a||b|＝cosα＝522|a|＝22.将a＝(4,3)，b＝(2，y)代入上式计算，得y＝－27或y＝14.又|b|≤14，故y＝14不合题意，舍去．则y＝－27，即b＝(2，－27)．故应选B.10．与向量a＝(72，12)，b＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是()A．(45，－35)B．(45，－35)或(－45，35)C．(223，－13)D．(223，－13)或(－223，－13)答案B解析方法一|a|＝|b|，要使所求向量e与a、b夹角相等，只需a·e＝b·e.∵(72，12)·(45，－35)＝(12，－72)·(45，－35)＝52，排除C、D.又∵(72，12)·(－45，35)＝(12，－72)·(45，35)＝－52.∴排除A.方法二设a＝OA→，b＝OB→.由已知得|a|＝|b|，a⊥b，则与向量a，b的夹角相等的向量在∠AOB的角平分线上，与a＋b共线．∵a＋b＝(4，－3)，∴与a＋b共线的单位向量为±a＋b|a＋b|＝±(45，－35)，即(45，－35)或(－45，35)．二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．已知复数z＝1－3i3＋i，z是z的共轭复数，则z的模等于________．第5页共10页答案1解析z＝1－3i3＋i＝－i2－3i3＋i＝－ii＋33＋i＝－i，|z|＝|i|＝1.12．已知A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上三点，OA→＋OB→＝OC→，则AB→·OA→＝________.答案－32解析由题意知，OACB为菱形，且∠OAC＝60°，AB＝3，∴AB→·OA→＝3×1×cos150°＝－32.13．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝________.答案3解析易知a＋b＝(3，n＋1)，a·b＝2＋n.∵|a＋b|＝a·b，∴32＋n＋12＝2＋n，解得n＝3.14．已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则mn＝________.答案3解析方法一如图所示，∵OA→·OB→＝0，∴OB→⊥OA→.不妨设|OC→|＝2，过C作CD→⊥OA→于D，CE→⊥OB→于E，则四边形ODCE是矩形．OC→＝OD→＋DC→＝OD→＋OE→.∵|OC→|＝2，∠COD＝30°，∴|DC→|＝1，|OD→|＝3.第6页共10页又∵|OB→|＝3，|OA→|＝1，故OD→＝3OA→，OE→＝33OB→.∴OC→＝3OA→＋33OB→，此时m＝3，n＝33.∴mn＝333＝3.方法二由OA→·OB→＝0知△AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则可知OA→＝(1,0)，OB→＝(0，3)，又由OC→＝mOA→＋nOB→，可知OC→＝(m，3n)，故由tan30°＝3nm＝33，可知mn＝3.15．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________．答案±2解析如图，作平行四边形OADB，则OA→＋OB→＝OD→，OA→－OB→＝BA→，∴|OD→|＝|BA→|.又|OA→|＝|OB→|，∴四边形OADB为正方形，易知|OA→|为直线在y轴上的截距大小，a＝2.验证a＝－2时，成立．16．对于向量a，b，c，给出下列四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a＝|c|·b，c＝|b|·a，则|a|＝|b|＝|c|＝1；第7页共10页③若|a|＝|b|＝2，则(a＋b)⊥(a－b)；④若|a·b|＝|b·c|且b≠0，则|a|＝|c|.其中正确的命题序号是________．答案③解析当b＝0时，①不正确；当b＝0时，且c＝0时，②不正确；③中，∵|a|＝|b|＝2，∴(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)，故③正确；④中取a≠0且a⊥b，而c＝0时，则结论不正确，故④不正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m＝(2cosA2，sinA2)，n＝(cosA2，－2sinA2)，m·n＝－1.(1)求cosA的值；(2)若a＝23，b＝2，求c的值．答案(1)－12(2)2解析(1)∵m＝(2cosA2，sinA2)，n＝(cosA2，－2sinA2)，m·n＝－1，∴2cos2A2－2sin2A2＝－1，∴cosA＝－12.(2)由(1)知cosA＝－12，且0Aπ，∴A＝2π3.∵a＝23，b＝2，由正弦定理，得asinA＝bsinB，即23sin2π3＝2sinB.∴sinB＝12.∵0Bπ，BA，∴B＝π6.∴C＝π－A－B＝π6，∴C＝B.∴c＝b＝2.18．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(2cosβ，2sinβ)，若实数k使|ka＋b|＝|a－kb|成立，求满足不等式a·b≥0的k的取值范围．解析由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝(a－kb)2.第8页共10页即有k2a2＋b2＋2ka·b＝a2－2ka·b＋k2b2.∴8kcos(α－β)＝3(k2－1)．若k＝0，则有|a|＝|b|，与已知矛盾．∴k≠0，∴cos(α－β)＝3k2－18k.而a·b＝cosα·2cosβ＋sinα·2sinβ＝2cos(α－β)＝3k2－14k，且a·b≥0.∴0≤3k2－14k≤2.解得－1≤k≤－13或1≤k≤3.19．(本小题满分12分)已知向量a＝(1sinx，－1sinx)，b＝(2，cos2x)．(1)若x∈(0，π2]，试判断a与b能否平行？(2)若x∈(0，π3]，求函数f(x)＝a·b的最小值．解析(1)若a与b平行，则有1sinx·cos2x＝－1sinx·2，因为x∈(0，π2]，sinx≠0，所以得cos2x＝－2.这与|cos2x|1相矛盾，故a与b不能平行．(2)由于f(x)＝a·b＝2sinx－cos2xsinx＝2－cos2xsinx＝1＋2sin2xsinx＝2sinx＋1sinx.又因为x∈(0，π3]，所以sinx∈(0，32]．于是2sinx＋1sinx≥22sinx·1sinx＝22，当2sinx＝1sinx，即sinx＝22时取等号．故函数f(x)的最小值等于22.20．(本小题满分12分)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足(2a＋c)·BC→·BA→＋c·CA→·CB→＝0.(1)求角B的大小；(2)若b＝23.试求AB→·CB→的最小值．答案(1)23π(2)－2解析(1)因为(2a＋c)BC→·BA→＋cCA→·CB→＝0，第9页共10页所以(2a＋c)accosB＋cabcosC＝0.即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0.则(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0.所以2sinAcosB＋sin(C＋B)＝0.即cosB＝－12，所以B＝2π3.(2)因为b2＝a2＋c2－2accos2π3，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4.当且仅当a＝c时取等号，此时ac最大值为4.所以AB→·CB→＝accos2π3＝－12ac≥－2.即AB→·CB→的最小值为－2.21．(本小题满分12分)若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.(1)若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在一直线上？(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？解析(1)设a－tb＝m[a－13(a＋b)]，m∈R，化简得(23m－1)a＝(m3－t)b.∵a与b不共线，∴23m－1＝0，m3－t＝0⇒m＝32，t＝12.∴t＝12时，a，tb，13(a＋b)的终点在一直线上．(2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos60°＝(1＋t2－t)|a|2.∴当t＝12时，|a－tb|有最小值32|a|.22．(本小题满分12分)已知向量m＝(sinx,1)，n＝(3Acosx，A2cos2x)(A0)，函数f