2014高考文科数学课时作业26

1课时作业(二十六)平面向量的数量积与平面向量应用举例A级1．(2012·辽宁卷)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b2．向量AB→与向量a＝(－3,4)的夹角为π，|AB→|＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为()A．(－7,8)B．(9，－4)C．(－5,10)D．(7，－6)3．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量AB→＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·AC→＝2，则n·BC→等于()A．－2B．2C．0D．2或－24．(2012·天津卷)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→·CP→＝－2，则λ＝()A.13B．23C.43D．25．(2012·郑州二模)设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点，且OA→·OB→＝0，存在实数λ，μ，使得OC→＝λOA→＋μOB→，实数λ，μ的关系为()A．λ2＋μ2＝1B．1λ＋1μ＝1C．λ·μ＝1D．λ＋μ＝16．(2012·聊城模拟)设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝32，|a＋b|＝22，则|b|＝________.7．(2012·浙江卷)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.8．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN→的模为________．9．如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(AB→＋DC→)·(AC→＋BD→)＝________.10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；2(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB→·AC→＝BA→·BC→＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若c＝2，求k的值．B级1．(2012·郑州三模)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA→＋AB→＋AC→＝0，且|OA→|＝|AB→|，则CA→在CB→方向上的投影为()A．1B．2C.3D．32．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.3．(2012·太原模拟)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－3sin2x)，b＝(cosx,1)(x∈R)．(1)求f(x)的周期和单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，AB→·AC→＝3，求边长b和c的值(b＞c)．详解答案课时作业(二十六)A级31．B因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.2．D设点B的坐标为(m，n)，由题意，cos180°＝－1＝AB→·a|AB→||a|＝m－－＋n－5×m－2＋n－2，化简得，(－3m＋4n－5)2＝25[(m－1)2＋(n－2)2]，选项D符合题意，故选D.3．Bn·BC→＝n(BA→＋AC→)＝n·BA→＋n·AC→＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.4．B由题意可知BQ→＝AQ→－AB→＝(1－λ)AC→－AB→，CP→＝AP→－AC→＝λAB→－AC→，且AB→·AC→＝0，故BQ→·CP→＝－(1－λ)AC→2－λAB→2＝－2.又AB＝1，AC＝2，代入上式解得λ＝23.5．A依题意得，OA→2＝OB→2＝OC→2＝1，又OC→2＝(λOA→＋μOB→)2，∴OC→2＝λ2OA→2＋μ2OB→2＋2λμOA→·OB→，即1＝λ2＋μ2，选A.6．解析：由已知得|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1.答案：17.解析：如图所示，AB→＝AM→＋MB→，AC→＝AM→＋MC→＝AM→－MB→，∴AB→·AC→＝(AM→＋MB→)·(AM→－MB→)＝AM→2－MB→2＝|AM→|2－|MB→|2＝9－25＝－16.答案：－168．解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，故向量MN→＝(－8,8)，|MN→|＝82.答案：829．解析：由于AB→＝AC→＋CB→，DC→＝DB→＋BC→，所以AB→＋DC→＝AC→＋CB→＋DB→＋BC→＝AC→－BD→.(AB→＋DC→)·(AC→＋BD→)＝(AC→－BD→)·(AC→＋BD→)＝|AC→|2－|BD→|2＝9－4＝5.答案：5410．解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.∴λ的值为52.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝a·b|b|＝1×2＋2×－222＋－22＝－222＝－22.11．解析：(1)∵AB→·AC→＝cbcosA，BA→·BC→＝cacosB，又AB→·AC→＝BA→·BC→，∴bccosA＝accosB，∴sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0，∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知，AB→·AC→＝bccosA＝bc·b2＋c2－a22bc＝c22＝k，∵c＝2，∴k＝1.B级1．C如图，设D为BC的中点，由OA→＋AB→＋AC→＝0得OA→＋2AD→＝0，即AO→＝2AD→，∴A、O、D共线且|AO→|＝2|AD→|，又O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，∴|AC→|＝|AB→|＝|OA→|＝2，|AD→|＝1，∴|CD→|＝3，∴CA→在CB→方向上的投影为3.2．解析：∵(a＋b)⊥(ka－b)，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋(k－1)a·b－b2＝0，(*)5又∵a，b为两不共线的单位向量，∴(*)式可化为k－1＝－(k－1)a·b，若k－1≠0，则a·b＝－1，这与a，b不共线矛盾；若k－1＝0，则k－1＝－(k－1)a·b恒成立．综上可知，k＝1时符合题意．答案：13．解析：(1)由题意知：f(x)＝2cos2x－3sin2x＝1＋cos2x－3sin2x＝1＋2cos2x＋π3∴f(x)的最小正周期T＝π，∵y＝cosx在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，∴令2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，∴f(x)的单调递减区间kπ－π6，kπ＋π3，k∈Z.(2)∵f(A)＝1＋2cos2A＋π3＝－1，∴cos2A＋π3＝－1，又π3＜2A＋π3＜7π3，∴2A＋π3＝π，∴A＝π3.∵AB→·AC→＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5，又b＞c，∴b＝3，c＝2.