2015专题复习一·集合与简易逻辑

专题一集合、常用逻辑用语第一讲：4课时高考热点一：集合[命题方向]：1．以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算.2.利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围.3.以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算．[真题感悟，自主突破]：1.（12年江苏）已知集合A={1,2,4}，B={2,4,6},则A∪B＝2.（10年江苏）设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a+2，a2+4}，且A∩B＝{3}，则实数a＝解析：3B,a+2=3,a=1.3.（09年江苏）已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，+∞),其中c＝解析：由2log2x得04x，(0,4]A；由AB知4a，所以c4。[典型题例，精析巧解]：1．(14年山东)设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝解析：由|x－1|＜2⇔－2＜x－1＜2，故－1＜x＜3，即集合A＝(－1,3)．根据指数函数的性质，可得集合B＝[1,4]．所以A∩B＝[1,3)．2．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是解析：由于A∪(∁RB)＝R，∴B⊆A，∴a≥23.在平面直角坐标系中，A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝{(x，y)|x≤4，y≥0,3x－4y≥0}，则P＝{(x，y)|x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}所表示的区域的面积为[解析]由x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，得x1＝x－x2，y1＝y－y2，因为(x1，y1)∈A，所以把x1＝x－x2，y1＝y－y2代入x2＋y2≤1可得，(x－x2)2＋(y－y2)2≤1，点集P所表示的集合是以集合B＝{(x，y)|x≤4，y≥0,3x－4y≥0}的区域为圆心，半径为1的圆内部分，如图中阴影部分所示，其面积为5＋6＋4＋3＋π＝18＋π[同类拓展，变式训练]：1.设集合A={（x,y）|y＝-4x+6}，B={（x,y）|y＝3x-8},则A∩B＝2.设集合M={2，x2}，N={2，x},若M=N，则x＝3.设集合A＝{x||x－a|＜1,x∈R}，B＝{x|1＜x＜5,x∈R}，若A∩B＝,则实数a的取值范围是4.已知集合A＝{(x，y)|y＝49－x2}，B＝{(x，y)|y＝x＋m}，且A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________解析：集合A表示以原点为圆心，7为半径的圆在x轴及其上方的部分，A∩B≠∅，表示直线y＝x＋m与圆有交点，作出示意图可得实数m的取值范围是[－7，72]．高考热点二命题及逻辑连结词[命题方向]1．命题的四种形式及命题的真假判断.2．.复合命题的真假判断，常与函数、三角、解析几何不等式结合．[真题感悟，自主突破]：1(12年湖南)命题“若α＝4，则tanα＝1”的逆否命题是解析：由命题与其逆否命题之间的关系知，逆否命题是：若tanα≠1，则α≠4.2．(14年陕西)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，原命题的逆命题为，是命题。（填真或假）解析：当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以是假的，故否命题也的3．(14年辽宁)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是①p∨q②p∧q③(p)∧(q)④p∨(q)解析：如图，若a＝A1A→，b＝AB→，c＝B1B→，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．.[典型题例，精析巧解]：1．命题：“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是[解析]：(1)∵“－1＜x＜1”的否定是x≥1，或x≤－1.∴逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.2．命题A：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不经过第四象限．那么命题A的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是[解析]：易知命题A是真命题，其逆否命题也是真命题，A的逆与否命题都是假命题．3．设p：关于x的不等式ax＞1的解集是{x|x＜0}；q：ax2－x＋a＞0恒成立，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]：根据指数函数的单调性，可知命题p为真时，设实数a的取值集合为P，则P＝{a|0＜a＜1}．对于命题q：当a＝0时，不等式为－x＞0，解得x＜0，显然不成立；当a≠0时，不等式恒成立的条件是a＞0，Δ＝－12－4a×a＜0，解得a＞12.综上，命题q为真时，设a的取值集合为Q，则Q＝a|a＞12.由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”可知命题p，q一真一假，设U为实数集，当p真q假时，a的取值范围是P∩(∁UQ)＝{a|0＜a＜1}∩a|a≤12＝a|0＜a≤12；当p假q真时，a的取值范围是(∁UP)∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩a|a＞12＝{a|a≥1}．综上，a的取值范围是a|0＜a≤12∪{a|a≥1}＝0，12∪[1，＋∞)．[同类拓展，变式训练]：1.命题：“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是__________2．有下列命题：p：函数f(x)＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；q：已知向量a＝(λ，1)，b＝(－1，λ2)，c＝(－1,1)，则(a＋b)∥c的充要条件是λ＝－1；其中所有的真命题是__3，已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________1解析否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数”2解析∵f(x)＝－cos2x，∴T＝π，故p是真命题；∵a＋b＝(λ－1，λ2＋1)，则λ2＋λ＝0，即λ＝－1或λ＝0，故q是假命题；3解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8.故m的范围是[3,8)．高考热点三全称命题与特称命题[命题方向]1．全称命题与特称命题的否定及真假判断.2.利用全称命题与特称命题的真假求参数值或范围．[真题感悟，自主突破]：2．(14年天津)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则p为_______解析：“∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1”．2.下列命题中是假命题的是_______①．∀x∈0，π2，x＞sinx②．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2③．∀x∈R,3x＞0④．∃x0∈R，lgx0＝0解析：①由正弦线的定义易知x＞sinx，故∀x∈0，π2，x＞sinx，即①是真命题；②sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2，所以不存在x0∈R，使sinx0＋cosx0＝2，故②是假命题．③，由指数函数的值域∀x∈R,3x＞0是真命题；④取x0＝1，lgx0＝lg1＝0，故∃x0∈R，lgx0＝0是真命题．故②是假命题[典型题例，精析巧解]：1．(14年安徽)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是_______解析：否定是∃x0∈R，|x0|＋x＜0.2．下列命题中的假命题是_______①．∀x∈R，ex＞0②．∀x∈N，x2＞0③∃x0∈R，lnx0＜1④∃x0∈N*，sinx0＝1解析：②当x＝0，x2＝0，与x任意性矛盾，3．已知命题：p：∃x0∈R，ax20＋x0＋12≤0.若命题p是假命题，则a的取值范围是____．解析：因为命题p是假命题，所以綈p为真命题，即∀x∈R，ax2＋x＋12＞0恒成立．当a＝0时，x＞－12，不满足题意；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有a＞0Δ＜0，解得a＞0a＞12，所以a＞12，即a∈12，＋∞.[同类拓展，变式训练]：1．若命题p：∀x∈R，1x2＋x＋1＞0，则其否定是______．解析：隐含条件1x2＋x＋1＞0且x2＋x＋1≠0∴∃x∈R，1x2＋x＋1＜0，或x2＋x＋1＝0.2．命题p1：∃x∈(0，＋∞)，12x＜13x；p2：∃x∈(0,1)，12logx＞13logx；p3：∀x∈(0，＋∞)，12x＞12logx；p4：∀x∈0，13，12x＜13logx，其中的真命题是_____解析取x＝12，则12logx＝1，13logx＝log32＜1，p2正确；当x∈0，13时，12x＜1，而13logx＞1，p4正确．3.若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，x为任意实数时，都有ax2－ax－2≤0成立．当a＝0时，－2≤0显然成立．当a≠0时，由a＜0，Δ＝a2＋8a≤0得－8≤a＜0.综上，实数a的取值范围是[－8,0]．高考热点四充分必要条件的判定[命题方向]1．充要性的判定多与函数、不等式、三角、直线间关系、平面向量等易混易错的概念、性质相结合考查.2.利用充要性求参数值或取值范围．[真题感悟，自主突破]：1.(14天津)设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的_______条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）解析：构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝x2，x≥0，－x2，x＜0，所以函数f(x)在R上单调递增，所以a＞b⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|..充要条件2．(14江西)下列叙述中正确的是_______①．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”②．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”③．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”④．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β解析：由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，①错；∵ab2＞cb2，且b2＞0，∴a＞c.而a＞c时，若b2＝0，则ab2＞cb2不成立，由此知“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分不必要条件，②错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2＜0”，③错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．3．(14重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是____①．p∧q②．p∧q③．p∧q④．p∧q解析：命题p是真命题．由x＞2⇒x＞1，而x＞1⇒/x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则q是真命题，p∧綈q是真命题，选④[典型题例，精析巧解]：1.(12天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的_______条件[解析]由条件推结论和结论推条件后判断．若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．2.(12安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的_______【解析】利用面面垂直的性质定理及空间直线的位置关系，判定充分必要条件．当α⊥β时，由于α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，3．设集合P＝{t|数列{n2＋tn(n∈N*)}单调递增}，集合Q＝