2017届高考数学一轮复习第7节圆锥曲线的综合问题第三课时定点定值存在性专题应用能力提升文

1第三课时定点、定值、存在性专题【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的定点问题1,4,5圆锥曲线的定值问题7圆锥曲线的存在性问题2,3,61.(2015江西九江二模)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,M是椭圆C上任意一点,且点M到椭圆C右焦点F距离的最小值是-1.(1)求椭圆C的方程;(2)已知A,B是椭圆C的左、右顶点,当点M与A,B不重合时,过点F且与直线MB垂直的直线交直线AM于点P,求证:点P在定直线上.(1)解:由条件知a-c=-1,又==.解得a=,c=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设M(x0,y0)(y0≠0),则+=1,直线AM的方程为y=(x+),①因为FP⊥MB,所以直线FP的方程为y=-(x-1),②联立①②得x+=-(x-1),③又+=1,即-=2,④将④代入③得x=2+,2所以点P在定直线x=2+上.2.(2016郑州模拟)已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重合).(1)求曲线E的方程;(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值.若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.解:(1)设点P(x,y),由题意可得=,整理可得+y2=1.曲线E的方程是+y2=1.(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|=.当m=0时,不合题意.当m≠0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得=1,即m2+1=n2.联立消去y得(m2+)x2+2mnx+n2-1=0,Δ=4m2n2-4(m2+)(n2-1)=2m20,x1=,x2=,S四边形ACBD=|AB||x2-x1|==≤,3当且仅当2|m|=,即m=±时等号成立,此时n=±,经检验可知,直线l的方程为y=x-或y=-x+时四边形ACBD的面积最大,最大值为.3.(2015东北三省四市教研联合体一模)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点F在y轴正半轴上,过点F的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的长是8,AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程;(2)在抛物线上是否存在不与原点重合的点P,使得过点P的直线交抛物线于另一点Q,满足PF⊥QF,且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直?并请说明理由.解:(1)设抛物线的方程为x2=2py(p0),设A(xA,yA),B(xB,yB),由抛物线的定义可知yA+yB+p=8,又AB中点到x轴的距离为3,所以yA+yB=6,所以p=2,所以抛物线的标准方程是x2=4y.(2)设P(x1,y1),x1≠0,Q(x2,y2),则抛物线x2=4y在点P处的切线方程是y=x-y1,直线PQ:y=-x+2+y1代入x2=4y得x2+x-4(2+y1)=0,由根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=-8-4y1,所以x2=--x1,y2=+y1+4,而·=-2y1--7=0,整理可得-2-7y1-4=0(y10),4分解因式可得(y1+1)2(y1-4)=0,解得y1=4,故存在点P(±4,4)满足题意.4.(2015吉林东北师大附中三模)已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=,虚轴长为2.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A,B两点(A,B均异于左、右顶点),且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.(1)解:由题设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0),由已知得=,2b=2,又a2+b2=c2,解得a=2,b=1,所以双曲线的标准方程为-y2=1.(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1-4k2)x2-8mkx-4(m2+1)=0,则x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=.以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(-2,0),所以kADkBD=-1,即·=-1,所以y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,所以+++4=0,所以3m2-16mk+20k2=0.解得m=2k或m=.当m=2k时,l的方程为y=k(x+2),直线过定点(-2,0),与已知矛盾;5当m=时,l的方程为y=k(x+),直线过定点(-,0),经检验符合已知条件.故直线l过定点,定点坐标为(-,0).5.(2016开封模拟)已知抛物线C:x2=4y.(1)设P为直线l:x-y-2=0上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(2)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解:(1)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y′=x.设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中y1=,y2=),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.故直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(2)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0,由根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.6又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以+-2y0+1=2+2y0+5=2(y0+)2+,所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.6.(2015西安模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)经过点(1,),离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)直线y=k(x-1)(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,点M是椭圆C的右顶点,直线AM与直线BM分别与y轴交于点P,Q,试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.解:(1)由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程是+y2=1.(2)以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点.由得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=,x1x2=.又因为点M是椭圆C的右顶点,所以点M(2,0),由题意可知直线AM的方程为y=(x-2),故点P(0,-).直线BM的方程为y=(x-2),故点Q(0,-).若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N(x0,0),则等价于·=0恒成立,7又因为=(x0,),=(x0,),所以·=+·=+=0恒成立,又因为(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=-2·+4=,y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=k2(-+1)=,所以+=+=-3=0,解得x0=±.即x轴上的定点为(,0)或(-,0).故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点(±,0).7.(2016枣庄模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程;(2)过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值,并求出这个定值.解:(1)由题意知4a=8,所以a=2.因为e=,所以==1-e2=,所以b2=3.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意,当直线AB的斜率不存在时,可设A(x0,x0),B(x0,-x0).8又A,B两点在椭圆C上,所以+=1,即=,所以点O到直线AB的距离d==.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m.由消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,由Δ0得3+4k2m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=kx1+m,y2=kx2+m,所以x1+x2=-,x1x2=.因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.所以(k2+1)-+m2=0,整理得7m2=12(k2+1),满足Δ0.所以点O到直线AB的距离d===为定值.综上,点O到直线AB的距离为定值,且这个定值为.