2015版高中数学23等比数列(第2课时)练习新人教B版必修5

-1-第二章2.3第2课时一、选择题1．在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9等于()A．90B．30C．70D．40[答案]D[解析]∵q2＝a6＋a7a4＋a5＝2，∴a8＋a9＝(a6＋a7)q2＝20q2＝40.2．(2014·重庆理，2)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列[答案]D[解析]设等比数列的公比为q，∵a6a3＝a9a6＝q3，∴a26＝a3a9，∴a3，a6，a9成等比数列，故选D.3．等比数列{an}各项为正数，且3是a5和a6的等比中项，则a1·a2·…·a10＝()A．39B．310C．311D．312[答案]B[解析]由已知，得a5a6＝9，∴a1·a10＝a2·a9＝a3·a8＝a4·a7＝a5·a6＝9，∴a1·a2·…·a10＝95＝310.4．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则a29a11的值为()A．9B．1C．2D．3[答案]D[解析]a3a5a7a9a11＝a51q30＝243，∴a29a11＝a1q82a1q10＝a1q6＝5243＝3.5．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．16[答案]C[解析]∵a3a11＝a27＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.-2-6．在等比数列{an}中，anan＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a6a16等于()A.32B.23C.16D．6[答案]A[解析]∵a7·a11＝a4·a14＝6a4＋a14＝5，解得a4＝3a14＝2或a4＝2a14＝3.又∵anan＋1，∴a4＝3，a14＝2.∴a6a16＝a4a14＝32.二、填空题7．(2014·江苏，7)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．[答案]4[解析]本题考查等比数列的通项及性质．设公比为q，因为a2＝1，则由a8＝a6＋2a4得q6＝q4＋2q2，q4－q2－2＝0，解得q2＝2，所以a6＝a2q4＝4.在等比数列中an＝am·qn－m.8．已知等比数列{an}的公比q＝－13，则a1＋a3＋a5＋a7a2＋a4＋a6＋a8等于________．[答案]－3[解析]a1＋a3＋a5＋a7a2＋a4＋a6＋a8＝a1＋a3＋a5＋a7a1q＋a3q＋a5q＋a7q＝1q＝－3.三、解答题9．已知数列{an}为等比数列．(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.[解析](1)∵a1a2a3＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36.又∵a1＋a3＝21－a2＝15，∴a1、a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.当a1＝3时，q＝a2a1＝2，an＝3·2n－1；当a1＝12时，q＝12，an＝12·(12)n－1.(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，∴q＝±2.-3-一、选择题1．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于()A．210B．220C．216D．215[答案]B[解析]设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.2．如果数列{an}是等比数列，那么()A．数列{a2n}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列[答案]A[解析]设bn＝a2n，则bn＋1bn＝a2n＋1a2n＝(an＋1an)2＝q2，∴{bn}成等比数列；2an＋12an＝2an＋1－an≠常数；当an0时lgan无意义；设cn＝nan，则cn＋1cn＝＋＋1nan＝＋n≠常数．3．在等比数列{an}中，公比为q，则下列结论正确的是()A．当q1时，{an}为递增数列B．当0q1时，{an}为递增数列C．当n∈N＋时，anan＋20成立D．当n∈N＋时，anan＋2an＋40成立[答案]C[解析]如等比数列－1，－2，－4，－8，…，的公比q＝2，而该数列为递减数列，排除A；如等比数列1，12，14，18，…，的公比q＝12，而该数列为递减数列，排除B；如等比数列－1,1，－1,1，－1，…，中a1a3a50，排除D，故选C.4．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c()A．成等差数列不成等比数列B．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列[答案]A[解析]解法一：a＝log23，b＝log26＝log23＋1，c＝log212＝log23＋2.∴b－a＝c－b.-4-解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴选A.二、填空题5．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.[答案]16[解析]∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b27＝16.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．[答案]3或27[解析]设此三数为3、a、b，则2a＝3＋b－＝3b，解得a＝3b＝3或a＝15b＝27.∴这个未知数为3或27.三、解答题7．{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.[解析]∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，∴a3、a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根．∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4，当a3＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，∴1＋q4＝5，∴q4＝4.当a3＝16时，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，∴1＋q4＝54，∴q4＝14.∴a11＝a3q8＝64或1.8．设{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式an.[解析]由b1＋b2＋b3＝3，得log2(a1·a2·a3)＝3，∴a1·a2·a3＝23＝8，∵a22＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3，设等比数列{an}的公比为q，得log2(2q)·log2(2q)＝－3.∴1－(log2q)2＝－3，∴log2q＝±2.解得q＝4或14，∴所求等比数列{an}的通项公式为an＝a2·qn－2＝22n－3或an＝25－2n.-5-9．(2013·全国大纲理，17)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．[解析]设{an}的公差为d.由S3＝a22，得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.