2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升3-3-2两点间的距离公式

一、选择题1．已知点A(a,0)，B(b,0)，则A，B两点间的距离为()A．a－bB．b－aC.a2＋b2D．|a－b|[答案]D[解析]代入两点间距离公式．2．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标是()A．(－3,1)或(7,1)B．(2，－3)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1)D．(2，－3)或(2,5)[答案]A[解析]∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.3．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是()A．－72B．－12C.12D.72[答案]C[解析]|AB|＝a－42＋a＋32＝2a2－2a＋25＝2a－122＋492，∴当a＝12时，|AB|取最小值．4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于()A．5B．42C．25D．210[答案]C[解析]设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝0－42＋－2－02＝20＝25.5．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为()A.26B.65C.29D.13[答案]A[解析]AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．∴|CD|＝－1－42＋－1－－22＝26；故选A.6．已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形[答案]C[解析]|AB|＝3－02＋2－52＝32，|BC|＝0－42＋5－62＝17，|AC|＝3－42＋2－62＝17，∴|AC|＝|BC|≠|AB|，且|AB|2≠|AC|2＋|BC|2.∴△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．7．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|等于()A.895B.175C.135D.115[答案]C[解析]易得A(0，－2)，B(－1，25)．8．在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使P点到A(2,3)距离为13，则P点坐标是()A．(5,5)B．(－1,1)C．(5,5)或(－1,1)D．(5,5)或(1，－1)[答案]C[解析]设点P(x，y)，则y＝2x＋53，由|PA|＝13得(x－2)2＋(2x＋53－3)2＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5，当x＝－1时，y＝1，当x＝5时，y＝5，∴P(－1,1)或(5,5)．二、填空题9．已知点M(m，－1)，N(5，m)，且|MN|＝25，则实数m＝________.[答案]1或3[解析]由题意得m－52＋－1－m2＝25，解得m＝1或m＝3.10．已知A(1，－1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|＝|BC|，则a＝________.[答案]12[解析]a－12＋3＋12＝4－a2＋5－32，解得a＝12.11．已知点A(4,12)，在x轴上的点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为________．[答案](9,0)或(－1,0)[解析]设P(a,0)，则a－42＋122＝13，解得a＝9或a＝－1，∴点P的坐标为(9,0)或(－1,0)．12．已知△ABC的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为________．[答案]65三、解答题13．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，(1)求BC边上的中线AM的长；(2)证明△ABC为等腰直角三角形．[解析](1)设点M的坐标为(x，y)，∵点M为BC边的中点，∴x＝3＋12＝2，y＝－3＋72＝2，即M(2,2)，由两点间的距离公式得：|AM|＝－3－22＋1－22＝26.∴BC边上的中线AM长为26.(2)由两点间的距离公式得|AB|＝－3－32＋1＋32＝213，|BC|＝1－32＋7＋32＝226，|AC|＝－3－12＋1－72＝213，∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC为等腰直角三角形．14．求证：等腰梯形的对角线相等．[证明]已知：等腰梯形ABCD.求证：AC＝BD.证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A(－a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(－b，c)．则|AC|＝－b＋a2＋c－02＝a－b2＋c2，|BD|＝b－a2＋0－c2＝a－b2＋c2，∴|AC|＝|BD|.即：等腰梯形的对角线相等．15．已知直线l1：2x＋y－6＝0和A(1，－1)，过点A作直线l2与已知直线交于点B且|AB|＝5，求直线l2的方程．[解析]当直线l2的斜率存在时，设其为k，则l2：y＋1＝kx－1又由2x＋y－6＝0⇒(k＋2)x＝k＋7，而k≠－2，故解得x＝k＋7k＋2，所以B(k＋7k＋2，4k－2k＋2)，又由|AB|＝5，利用两点间距离公式得k＋7k＋2－12＋4k－2k＋2＋12＝5⇒k＝－34，此时l2的方程为3x＋4y＋1＝0.而当l2的斜率不存在时，l2的方程为x＝1.此时点B坐标为(1,4)，则|AB|＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l2的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.16．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5m，宽AB＝3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．[分析]建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．[解析]以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD＝5m，AB＝3m，所以C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，所以kAC·kDM＝－1，即3－00－5·3－05－x＝－1.所以x＝3.2，即BM＝3.2，即点M的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC与DM相互垂直．故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得DM＝5－3.22＋3－02＝3534.