2014届高三数学大一轮复习41任意角弧度制及任意角的三角函数教案理新人教A版

1§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数2014高考会这样考1.考查三角函数的定义及应用；2.考查三角函数的符号；3.考查弧长公式、扇形面积公式．复习备考要这样做1.理解任意角的概念，会在坐标系中表示及识别角；2.掌握三角函数的定义，这是三角函数的基石．1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad,1rad＝180π°.(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|·r2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.三个三角函数的初步性质如下表：2三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线[难点正本疑点清源]1．对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°α90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tanα＝yx有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为α|α≠kπ＋π2，k∈Z.33．三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负．(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．1．若点P在角2π3的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标是________．答案(－1，3)解析∵x＝|OP|cos2π3＝2×－12＝－1，y＝|OP|sin2π3＝3.∴点P的坐标为(－1，3)．2．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.答案－8解析因为sinθ＝y42＋y2＝－255，所以y0，且y2＝64，所以y＝－8.3．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)答案C解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．4．已知cosθ·tanθ0，那么角θ是()A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角4C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角答案C解析若cosθ0，tanθ0，则θ在第四象限；若cosθ0，tanθ0，则θ在第三象限，∴选C.5．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或4答案C解析设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝6，12rl＝2，解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2.从而α＝lr＝41＝4或α＝lr＝22＝1.题型一角的有关问题例1(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与67π角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、α2所在的象限．思维启迪：利用终边相同的角进行表示或判断；根据角的定义可以把角放在坐标系中确定所在象限．解(1)终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}．(2)所有与67π角终边相同的角的集合是{θ|θ＝67π＋2kπ，k∈Z}，∴所有与θ3角终边相同的角可表示为θ3＝27π＋23kπ，k∈Z.∴在[0,2π)内终边与θ3角终边相同的角有27π，2021π，3421π.(3)∵2kπα2kπ＋π2，k∈Z，∴4kπ2α4kπ＋π，kπα2kπ＋π4，k∈Z.5∴2α在第一或第二象限或终边在y轴非负半轴上，α2角终边在第一或第三象限．探究提高所有与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝k·360°＋α，k∈Z；在确定α角所在象限时，有时需要对整数k的奇、偶情况进行讨论．已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；(2)设集合M＝x|x＝k2×180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝k4×180°＋45°，k∈Z，那么两集合的关系是什么？解(1)所有与角α有相同终边的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－765360≤k≤－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.题型二三角函数的定义例2已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα＋1tanα的值．思维启迪：先根据任意角的三角函数的定义求x，再求sinα＋1tanα的值．解∵P(x，－2)(x≠0)，∴点P到原点的距离r＝x2＋2.又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10.∴r＝23.当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，6有sinα＝－223＝－66，1tanα＝10－2＝－5，∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；当x＝－10时，同理可求得sinα＋1tanα＝65－66.探究提高任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r，最后根据定义求解．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝t2＋－3t2＝5|t|，当t0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34或sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.题型三三角函数线、三角函数值的符号例3(1)若θ是第二象限角，试判断osθθ的符号；(2)已知cosα≤－12，求角α的集合．思维启迪：由θ所在象限，可以确定sinθ、cosθ的符号；解三角不等式，可以利用三角函数线．解(1)∵2kπ＋π2θ2kπ＋π(k∈Z)，∴－1cosθ0,4kπ＋π2θ4kπ＋2π(k∈Z)，－1≤sin2θ0，∴sin(cosθ)0，cos(sin2θ)0.7∴θθ0.∴θθ的符号是负号．(2)作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z}．探究提高(1)熟练掌握三角函数在各象限的符号．(2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式(组)定出角的范围；③求交集，找单位圆中公共的部分；④写出角的表达式．(1)y＝sinx－32的定义域为________．(2)已知sin2θ0，且|cosθ|＝－cosθ，则点P(tanθ，cosθ)在第几象限？(1)答案{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋23π，k∈Z}解析∵sinx≥32，作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋23π，k∈Z}．(2)解方法一由sin2θ0，得2kπ＋π2θ2kπ＋2π(k∈Z)，kπ＋π2θkπ＋π(k∈Z)．当k为奇数时，θ的终边在第四象限；当k为偶数时，θ的终边在第二象限．又因cosθ≤0，所以θ的终边在左半坐标平面(包括y轴)，所以θ的终边在第二象限．所以tanθ0，cosθ0，点P在第三象限．方法二由|cosθ|＝－cosθ知cosθ≤0，①又sin2θ0，即2sinθcosθ0②由①②可推出sinθ0cosθ08因此θ在第二象限，P(tanθ，cosθ)在第三象限．题型四扇形的弧长、面积公式的应用例4已知一扇形的圆心角为α(α0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？思维启迪：(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数．解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝π3，R＝10，l＝π3×10＝10π3(cm)，S弓＝S扇－S△＝12×10π3×10－12×102×sinπ3＝503π－5032＝50π3－32(cm2)．(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝C2＋α，∴S扇＝12α·R2＝12α·C2＋α2＝C22α·14＋4α＋α2＝C22·14＋α＋4α≤C216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C216.探究提高(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．(3)记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S＝12αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0α2π)为圆心角，S是扇形面积．(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)设扇形的圆心角为θrad，则扇形的周长是2r＋rθ.依题意：2r＋rθ＝πr，∴θ＝(π－2)rad.∴扇形的面积S＝12r2θ＝12(π－2)r2.(2)设扇形