2014年中考数学复习第十三讲反比例函数

2014年中考数学复习第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：形如y（k是常数，k≠0）叫做反比例函数[来源:K]【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠0，2、反比例函数的另一种表达式为y=（k是常数，k≠0），3、反比例函数解析式可写成xy=k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于】二、反比例函数的同象和性质：1、反比例函数y=kx（k≠0）的同象是它有两个分支，关于对称2、反比例函数y=kx（k≠0）当k0时它的同象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当k0时，它的同象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而【名师提醒：1、在反比例函数y=kx中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义：反曲线y=kx（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线→两线与坐标轴围成的形面积，即如图：AOBP=S△AOP=【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=kx（k≠0）中只有一个被定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法四、反比例函数的应用解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的【重点考点例析】考点一：反比例函数的同象和性质例1（2012•张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数ayx在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=ayx过一、三象限；当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=ayx过二、四象限；故选C．点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．例2在平面直角坐标系中，反比例函数22aayx图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限思路分析：把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答．解：a2-a+2=a2-a+14-14+2=（a-12）2+74，∵（a-12）2≥0，∴（a-12）2+74＞0，∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．故选A．点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a2-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数kyx（k≠0）：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．例3（2012•台州）点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数6yx的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答．解：∵函数6yx中k=6＞0，∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，∵-1＜0，∴点（-1，y1）在第三象限，∴y1＜0，∵0＜2＜3，∴（2，y2），（3，y3）在第一象限，∴y2＞y3＞0，∴y2＞y3＞y1．故选D．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键．对应训练1．一次函数y=x+m（m≠0）与反比例函数myx的图象在同一平面直角坐标系中是（）A．B．C．D．2．（2012•内江）函数1yxx的图象在（）A．第一象限B．第一、三象限C．第二象限D．第二、四象限3．（2012•佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数2yx的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1y2．考点二：反比例函数解析式的确定例4（2012•哈尔滨）如果反比例函数1kyx的图象经过点（-1，-2），则k的值是（）A．2B．-2C．-3D．3思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解：根据题意，得-2=11k，即2=k-1，解得k=3．故选D．点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．对应训练4．（2012•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数1byx的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．3yxB．1yxC．2yxD．2yx考点三：反比例函数k的几何意义例5（2012•铁岭）如图，点A在双曲线4yx上，点B在双曲线kyx（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（）A．12B．10C．8D．6思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，由于点A在双曲线4yx上，所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k，由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值．解：∵双曲线kyx（k≠0）上在第一象限，∴k＞0，延长线段BA，交y轴于点E，∵AB∥x轴，∴AE⊥y轴，∴四边形AEOD是矩形，∵点A在双曲线4yx上，∴S矩形AEOD=4，同理S矩形OCBE=k，∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8，∴k=12．故选A．点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数kyx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．对应训练5．（2012•株洲）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数21,yyxx的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（）A．3B．32tC．32D．不能确定考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例6（2012•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数22yx的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BODD．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．解：A、12yxyx①②，∵把①代入②得：x+1=2x，解得：x1=-2，x2=1，代入①得y1=-1，y2=2，∴B（-2，-1），A（1，2），∴A、B不关于原点对称，故本选项错误B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；C、∵S△AOC=12×1×2=1，S△BOD=12×|-2|×|-1|=1，∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．对应训练6．（2012•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=mx(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．-2＜x＜0或x＞1B．x＜-2或0＜x＜1C．x＞1D．-2＜x＜1【聚焦中考】1．（2012•青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数3yx的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y32．（2012•菏泽）反比例函数2yx的两个点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＞x2，则下式关系成立的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．不能确定3．（2012•滨州）下列函数：①y=2x-1；②y=5x；③y=x2+8x-2；④y=22x；⑤y=12x；⑥y=ax中，y是x的反比例函数的有（填序号）。4．（2012•济宁）如图，是反比例函数2kyx的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；其中正确的是（在横线上填出正确的序号）4题图6题图7题图5．（2012•潍坊）点P在反比例函数kyx（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，则反比例函数的解析式为．6．（2012•聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数kyx（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为．7．（2012•泰安）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数myx的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b-mx＞0的解集．备考过关一、选择题1．）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（）A．B．C．D．2．（2012•孝感）若正比例函数y=-2x与反比例函数kyx图象的一个交点坐标为（-1，2），则另一个交点的坐标为（）A．（2，-1）B．（1，-2）C．（-2，-1）D．（-2，1）3．（2012•恩施州）已知直线y=kx（k＞0）与双曲线3yx交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为（）A．-6B．-9C．0D．94．（2012•常德）对于函数6yx，下列说法错误的是（）A．它的图象分布在一、三象限B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小5．（2012•淮安）已知反比例函数1myx的图象如图所示，则实数m的取值范围是（）A．m＞1B．m＞0C．m＜1D．m＜05题图9题图10题图13题图6．（2012•南平）已知反比例函数1yx的图象上有两点A（1，m）、B（2，n）．则m与n的大小关系为（）A．m＞nB．m＜nC．m=nD．不能确定7．（2012•内江）已知反比例函数kyx的图象经过点（1，-2），则k的值为（）A．2B．12C．1D．-28．（2012•荆门）已知：多项式x2-kx+1是一个完全平方式，则反比例函数1kyx的解析式为（）A．1yxB．3yxC．1yx或3yxD．2yx或2yx9．（2012•铜仁地区）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数kyx的图象过点A，则k的值是（）A．2B．-2C．4D．-410．（2012•黔东南州）如图，点A是反比例函数6yx（x＜0）的图象上的一点，过点A作ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则ABCD的面积为（）A．1B．3C．6D．1211．（2012•无锡）若双曲线kyx与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为-1，则k的值为