2013年江苏省高中数学优秀课评比教案《对数》教学设计

1课题：3.2.1对数授课教师：无锡市辅仁高级中学张长贵教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1一、教学目标：1.通过具体实例使学生认识到引进对数的必要性，让学生在实际背景中了解对数的意义，经历对数概念的形成过程；2.帮助学生理解对数的概念，引导学生认识对数与指数的相互联系，会熟练地进行指数式与对数式的互化，体会转化与化归的思想；3.引导学生发现关于对数的几个常用结论，了解常用对数和自然对数，了解对数的发明历史，培养学生的探究意识和发现问题、分析问题、解决问题的能力.二、教学重点、难点：重点：对数的概念，指数式与对数式的互化；难点：对数概念的理解.三、教学方法与手段：运用引导发现和讲练结合的教学方法，突出教师的“导”和学生的“探”，借助多媒体课件、计算器等工具让学生在教师的引导下，学会思考，大胆探索，建构知识，体会思想，形成技能.四、教学过程：（一）问题情境师：同学们，在指数函数的学习中我们研究过这个问题：我们知道，若设该物质最初的质量是1，则经过x年，该物质的剩留量为xy84.0.我们建立这个函数关系式可以实现计算预测的功能，只要知道时间x就可以计算剩留量y.比如，经过3年剩留量是多少？问题经过了3年，剩留量是多少？数学语言384.00.592704运算类型指数运算Nab（已知底数a和指数b，求幂值课本P68例4某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84％.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.2N）师：反过来，如果我们测得了剩留量y，怎么求出所经过的时间x呢？比如剩留量为0.5，经过了多少年？问题剩留量为0.5，经过多少年？数学语言5.084.0x，则x=？运算类型（一种新运算）已知底数a和幂值N求指数b“已知底数和幂值求指数”是一个新运算，这是我们这节课将要研究的问题.【设计意图】通过具体实例说明研究对数的必要性.引导学生用数学语言表述问题，回顾指数运算.由剩留量y求出所经过的时间x的设问让学生发现“已知底数和幂值求指数”的新问题，引发学生的认知冲突，激发学生的兴趣.师：5.084.0x中的x存在吗？唯一吗？能否借助之前所学的指数函数内容加以说明？[师生活动]引导学生利用指数函数的图像和性质分析得出5.084.0x中的x存在且唯一.【设计意图】关注学生的认知规律，引导学生用旧知识解决新问题，反映知识的联系性，体现数形结合的思想，同时为引入对数打下基础.师：既然这样的数是存在的,那么它是多少呢？我们如何表示它呢？解决的办法就是给它一个新记号，比如2313a，则3231a.这里我们用一个简单的数学符号来表示x，记作5.0log84.0x，读作以0.84为底0.5的对数.那么一般地，已知底数a和幂值N怎么求指数呢？下面我们给出对数的定义.（二）建构数学1.定义概念板书课题：对数一般地，如果)1,0(aaa的b次幂等于N，即Nab，那么就称b是以a为底N的对数（logarithm），记作bNalog,其中a叫做对数的底数(baseoflogarithm)，N叫做真数(propernumber).板书：定义1,0aa，2.概念解读师：b叫做以a为底N的对数，a叫做对数的底数，N叫做真数.NabbNalog读法写法3教师边讲边在黑板上标示问：在指数式中，a,b,N的名称叫什么？学生回答指数式中的字母名称，教师完成上述连线图.【设计意图】明确指数式和对数式中a,b,N的名称与位置变化，让学生了解对数式与指数式的关系，明确对数式与指数式形式的区别.师：对数的写法和符号表示也有讲究.我们用四线三格来规范书写.正确写法：错误写法Nalog是一个整体.离开了底数和真数的孤立符号log是没有意义的.类似于x；【设计意图】对数符号是学生学习的难点，注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误，进一步强化学生对对数符号的认识和理解.问：我们引进了对数符号bNalog，它的含义是什么呢？生：对数式bNalog的含义就是指Nab.师：因此根据对数的定义可知，Nab与bNalog两个等式所表示的是a,b,N这3个量之间的同一个关系.两种写法可以相互转化.互化NabbNalog指数—对数底数—底数幂—真数【设计意图】明确指数式和对数式中a,b,N是同一个量，理解指数式与对数式的相互关系，互化也体现了等价转化这个重要的数学思想，为探究对数的基本性质NabbNalog指数—对数底数—底数幂—真数Nalog3log2NalogaNlog23log4和对数式指数式的互化做好铺垫.3.性质探究问：根据定义，1,0aa，那么对数式中b和N的范围是什么？[师生活动]教师引导学生两个式子中字母的位置名称都发生了变化，但它们始终表示同一个量.学生回忆指数函数xay的图像和性质，回答a,N，b的范围.生：底数1,0aa，Rb，N0（因为0a，所以无论b是什么实数，都有N＞0，或者从指数函数的图像恒在x轴上方来说明）教师在连线图上标示a,b,N的范围，并强调负数和零没有对数.板书性质：负数和零没有对数.【设计意图】引导学生利用指数式与对数式的互化关系和已学过的指数幂的相关知识来认识a,b,N的范围，促进学生加深对定义的理解.例如：93229log3,212log42421问：根据对数的定义，写出下列各对数的值（1,0aa）：1log)1(5？；1log)2(3；1log)3(a；5log)4(5；3log)5(3；aalog)6(.[学生活动]学生口答，并提炼结论01loga，1logaa；板书两个常用结论：01loga（1的对数为0），1logaa（底数的对数为1）师：你能举出和-1相等的对数吗？[学生活动]学生举例，比如13log,121log312，并发现1log1log1aaaa.【设计意图】尝试使用对数的定义探究出对数的一些基本性质，体会数学定义的价值和指数式与对数式相互转化过程中蕴含的等价转化的思想方法.师：我们发现根据对数的定义，可以实现对数式与指数式的转化，也能求一些对数值.（三）数学运用例1将下列指数式改写成对数式：指数对5式数式（1）1624（2）27133（3）205a（4）45.0)21(b[学生活动]先请学生口答，再请学生到黑板上展示解答结果.解：将指数式改写成对数式：（1）416log2；（2）3271log3；（3）a20log5；（4）b45.0log21例2将下列对数式改写成指数式：指数式对数式（1）3125log5（2）23log31（3）699.1log10a[学生活动]以口答的形式回答上述问题.解：将对数式改写成指数式：（1）12553；（2）3)31(2；（3）a699.110【设计意图】熟悉指数式对数式的相互转化，加深理解对数概念.从说、写两个角度来规范学生的数学表达.师：3125log5正确吗？（正确，回到指数式12553）例3求下列各式的值：6（1）64log2；（2）27log9.[师生活动]学生解答，教师巡视答题情况，将学生的解答直接投影出来，并交流学生的解法.解：（1）法一：由6426，得664log2.法二：设x64log2，则62642x，所以6x师：设x的目的是什么？生：将对数式转化为指数式，从而解决问题.[教学预设]由于很容易看出6426，故此处学生可能不需要设x，不强求，第（2）问中学生不会很容易地得出相对应的指数式，通过设x将对数式转化为指数式的可能性更大.（2）设x27log9，根据对数的定义知279x，即3233x，得32x，所以23x，即27log9=23.师：在对数式还不熟练的时候可以先假设要算的对数值为x，再转化为指数式，根据指数式确定x的值，也就是用对数的定义去解决问题.不管用什么方法解题，都离不开定义，都从对数式回到指数式.【设计意图】帮助学生在应用的过程中进一步理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化方法，培养学生的运算能力和分析问题、解决问题的能力.练习：求下列各式的值：（1）64log4；（2）7log7；（3）9log31；（4）81log2；（5）100log10.【设计意图】了解学生对数概念的掌握情况，巩固所学知识，为引入两个重要结论做好准备.探究（1）64log4=34log34；(2)7log7=217log217；(3)9log31=2)31(log231；(4)81log2=32log32；(5)210log100log21010.你能提炼出一般性结论吗？70a，1a，bR，baalogb.[师生活动]师生探讨如何证明这个结论.定义中两个式子Nab①和Nbalog②中a,b,N是同一个量，那么能否通过代换得到结论？猜想：0a，1a，N0，NaalogN.将②代入①，可以得到结论NaNalog.板书结论：1,0aa，bR，0N.babalog，NaNalog.【设计意图】通过思考题的设置，借助练习与讨论的方式,让学生自己提炼出结论并进行证明，培养学生分析问题、观察归纳的能力.重要结论的发现和证明又进一步深化学生对对数概念的理解.[回扣结论]01loga，1logaa，1log1log1aaaa都可以统一于结论babalog.[回扣例题]例3求下列各式的值：（1）64log2；（2）27log9.[学生活动]学生利用结论babalog（),1,0Rbaa来解决问题.解答：（1）62log64log622；（2）2323239)3(327，故239log27log2399.【设计意图】利用发现的结论再次来解答前面的例题，将例题和练习融合，从概念到应用，从练习再回到例题，交替螺旋上升,始终围绕着对数概念这个中心.师：100log10这是一个以10为底的对数.通常将以10为底的对数称为常用对数（commonlogarithm），对数N10log简记为Nlg.比如12log10简记为12lg，84.0log10简记为84.0lg.师：12lg，84.0lg的值是多少？[师生活动]请同学们用计算器计算一下12lg和84.0lg（保留四位小数）.教师8指导学生使用计算器.【设计意图】鼓励学生使用计算器等进行探索发现，感受现代信息技术在数学中的作用，促进学生的学习.师：同学们使用计算器的时候有没有注意到在lg这个按键的右边的ln这个符号？（2）在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数（naturallogarithm）。71828.2e是一个无理数.正数N的自然对数Nelog一般简记为Nln，如15log,2logee分别记为15ln,2ln等.师：同学们，“常用对数”“自然对数”这两个特殊对数的名称很特别.为什么称之为常用对数？自然对数又自然在哪里？对这个内容感兴趣的同学，老师向大家推荐两本课外阅读书《不可思议的e》和《漫话e》,从中你一定能找到答案.【设计意图】指导学生查阅有关资料、书籍，多了解一些数学文化方面的知识，激发学生学习数学的兴趣.师：同学们，回到我们开头的问题，计算5.0log84.03.9755，即经过大约4年剩留量是原来的一半.有些同学的计算器上不能设置底数和真数，是计算器的设计缺陷吗？那么碰到底数不是10和e的对数怎么办？还能利用计算器计算吗？这个问题留待后续解决.【设计意图】呼应本节课开头的问题.借用计算器能否设定底数和真数的问题激发学生对后续相关内容的求知欲.（四）课堂总结师：同学们，今天这节课的主角是“对数”,我们一起来回顾一下整个知识的探究和发生的过程.任何数学模型都是以大量的具体例子为现实原型的.我们由具体问题引进对数的概念.从对数概念的建立过程可以看出指数与对数的互化关系，这也体现了一9个重要数学思想：转化与化归，给予我们一个知识间相互联系的观点.基于这一互化的关系，我们畅游于指数式和对数式之间，我们得到基本性质