2013年高中数学教学论文 用不动点法求数列的通项

用心爱心专心-1-用不动点法求数列的通项定义：方程xxf)(的根称为函数)(xf的不动点.利用递推数列)(xf的不动点，可将某些递推关系)(1nnafa所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若),1,0()(aabaxxfp是)(xf的不动点，na满足递推关系)1(),(1nafann，则)(1paapann，即}{pan是公比为a的等比数列.证明：因为p是)(xf的不动点pbapappb由baaann1得)(11paapbaapannn所以}{pan是公比为a的等比数列.定理2：设)0,0()(bcadcdcxbaxxf，}{na满足递推关系1),(1nafann，初值条件)(11afa（1）：若)(xf有两个相异的不动点qp,，则qapakqapannnn11（这里qcapcak）（2）：若)(xf只有唯一不动点p，则kpapann111（这里dack2）证明：由xxf)(得xdcxbaxxf)(，所以0)(2bxadcx（1）因为qp,是不动点，所以0)(0)(22bqadcqbpadcpqcabqdqpcabpdp，所以qapaqcapcaqcabqdapcabpdaqcapcaqdbaqcapdbapcaqdcabaapdcabaaqapannnnnnnnnnnn1111111111)()(令qcapcak，则qapakqapannnn11用心爱心专心-2-（2）因为p是方程0)(2bxadcx的唯一解，所以0)(2bpadcp所以apcppdb2，cdap2所以dcapacpadcaapcpacpadcapdbacpapdcabaapannnnnnnnn111211111))(()()(所以dacpapacpacpdcpacpacpdpaccpapadcacpapannnnnnn211)(111111111令dack2，则kpapann111例1：设}{na满足*11,2,1Nnaaaannn，求数列}{na的通项公式解：作函数xxxf2)(，解方程xxf)(求出不动点1,2qp，于是12212221211nnnnnnnnaaaaaaaa，逐次迭代得nnnnaaaa)21(12)21(12111由此解得nnnnna)1(2)1(21例2：数列}{na满足下列关系：0,2,2211aaaaaaann，求数列}{na的通项公式解：作函数xaaxf22)(，解方程xxf)(求出不动点ap，于是aaaaaaaaaaaaaaaannnnnn11)(1211221所以}1{aan是以aaa111为首项，公差为a1的等差数列所以ananaanaaaan1)1(11)1(111，所以naaan定理3：设函数)0,0()(2eafexcbxaxxf有两个不同的不动点21,xx,且由用心爱心专心-3-)(1nnufu确定着数列}{nu,那么当且仅当aeb2,0时,2212111)(xuxuxuxunnnn证明:kx是)(xf的两个不动点fexcbxaxxkkkk2即kkkbxxaefxc2)()2,1(k222221211222211222122111)()()()()()()()(bxxaeuexbaubxxaeuexbaufxcuexbaufxcuexbaufeuxcbuaufeuxcbuauxuxunnnnnnnnnnnnnnnn于是,2212111)(xuxuxuxunnnn22222112222221211222)()()()(xuxuxuxubxxaeuexbaubxxaeuexbaunnnnnnnn22222112222221211222)()(xuxuxuxuabxxaeuaexbuabxxaeuaexbunnnnnnnn221122xaexbxaexb0)2(0)2(21xeabxeab1121xx0方程组有唯一解aeb2,0例3：已知数列}{na中,*211,22,2Nnaaaannn,求数列}{na的通项.解:作函数为xxxf22)(2,解方程xxf)(得)(xf的两个不动点为22222211)22(22222222222222nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa再经过反复迭代,得1122211222211)2222()22()22()22(22nnaaaaaaaannnnnn用心爱心专心-4-由此解得11112222)22()22()22()22(2nnnnna其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:例4：已知1,011aa且)1(4162241nnnnnaaaaa,求数列}{na的通项.解:作函数为)1(416)(224xxxxxf,解方程xxf)(得)(xf的不动点为ixixxx33,33,1,14321.取1,1qp,作如下代换:423423422422411)11(146414641)1(4161)1(41611nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa逐次迭代后,得:111141414141)1()1()1()1(nnnnaaaaan