2015年湖北高考函数与导数命题分析与预测

12015年湖北函数与导数命题分析与预测函数与导数是近年高考命题的热点之一，在近几年的湖北高考试卷中，题型通常有一道时难时易的选择题，还有一道中上难度的解答压轴题，在全卷中所占分值20分左右。湖北省2014年高考数学理卷第22题，文卷第21题是关于函数与导数的试题，是同一题，只是此题理卷要比文卷试题多出第三问。试题回放Ⅰ：（2014年湖北卷理科T22，文科T21）为圆周率，71828.2e…为自然对数的底数（1）求函数xxxfln)(的单调区间；（2）求33,3,,3,eee这6个数中的最大数与最小数（3）将33,3,,3,eee这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。解：（1）易求出：)(xf的单调递增区间为],0(e，单调递减区间为),[e。（2）这6个数中的最大数是3，最小数是e3。（3）这6个数从小到大的顺序为3,,,,,333eeee此题第（2）问构造函数考生不熟练，未充分利用第（1）问的结论是考生失分的主要原因，第（3）问需构造函数并充分利用第（1）问及第（2）问的结论，其中还涉及估算近似值，不少考生因能力欠缺加之考试时间不够，失分较严重。试题回放Ⅱ：（2013年湖北卷理科T22）设n是正整数，r为正有理数（1）求函数)1(1)1()1()(1xxrxxfr的最小值（2）证明：1)1(1)1(1111rnnnrnnrrrrr（3）设,Rx记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[]=4，1]23[令3333125838281S，求[S]的值。（参考数据：7.631126,3.618124,5.35081,7.3448034343434）2解：（1）易得出)(xf在0x处取得最小值0)0(f（2）由①中，得)01()1(1)1(1xxxrxr且令nx1，得证不等式。（3）由（2）得到的不等式，令31r，n取81，82，83，…,125得到一系列式子相加，整理得[S]=211。此题考查函数、导数、不等式的证明、新定义，考查逻辑思维能力，推理论证能力，数据处理能力和运算求解能力。（2013年湖北卷文科T21）设,0,0ba已知函数1)(xbaxxf（1）当ba时，讨论函数)(xf的单调性。（2）当0x时，称)(xf为xba关于,的加权平均数。①判断)(),(),1(abfabff是否成等比数列，并证明)()(abfabf②ba,的几何平均数记为G，称baab2为ba,的调和平均数，记为H，若GxfH)(，求x的取值范围。此题主要考查导数及其应用和等比数列等知识，综合考查了分析问题与解决问题的能力、运算求解能力，试题难度较大。试题回放Ⅲ：（2012年湖北卷文科T22）设函数)0()1()(xbxaxxfn，n为正整数，ba,为常数，曲线)(xfy在))1(,1(f处的切线方程为1yx。（1）求ba,的值（2）求函数)(xf的最大值（3）证明：nexf1)(此题考查应用导数研究函数的性质，考查应用函数思想解决数学问题的能力，逻辑思维能力及3运算能力，难度很大。（2012年湖北卷理科T22）（1）已知函数)(,10,),0)(1()(xfrrxrxrxxfr求且为有理数其中的最小值。（2）试用（1）的结果证明如下命题：设2121,,0,0bbaa为正有理数，若2211212121,1,babaaabbbb则。（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。此题考查利用导数研究函数的性质，推理与证明等知识；考查逻辑推理能力，函数思想与分类讨论思想的应用，难度很大。新课改三年来，湖北命题方向一直保持稳中求变，三年的导数与函数。高考试题充分体现了《普通高中数学课程标准（实验）》和《高考考试说明》的总体要求，既考查基础知识，也注重学以致用的理念。如2014年湖北理卷的第22题，文卷的第21题，此题第一问求函数)(xf的单调区间，第二问求33,3,,,3,eeee这6个数的最大值、最小值。让抽象高深的数学知识接了“地气”，更具体的应用到我们的学习中。更加注重函数与导数和其他知识点的联系和互动，并且更加注重文理的差异和互通。如2013年湖北理科卷是导数与不等式交汇，2013年湖北文科卷是导数与等比数列交汇；2013、2012年湖北文卷、理卷函数与导数、题目不同，2014年虽同题，但文科比理科题目少第三问。函数与导数是近年高考命题的重点和热点之一，在每年的高考中属必考内容，其命题方向主要有两个。一是围绕函数的性质考查函数的奇偶性、单调性、周期性、极值、最值、曲线的切线等问题展示，二是围绕函数与方程，不等式命制探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立问题展开。其中压轴题试题难度较大，逻辑推理能力较强，不可小视。下面从2014年、2013年全国各省高考函数与导数题为例，谈高考函数导数与命题趋势。一、导数的概念及其几何意义例1、（2014课标Ⅱ理科T8）设曲线)1ln(xaxy在点)0,0(处的切线方程为,2xy则a（）A．0B．1C．2D．3解：D例2、（2014年大纲全国理科T7）曲线xey在点（1，1）处切线的斜率等于（）4A．e2B．eC．2D．1解：C例3、（2014年江西理科T13）若曲线1xxey上点P处的切线平行于直线,012yx则点P的坐标是解：)2,ln(2例4、（2014年江苏卷理科T11）在平面直角坐标系xoy中，若曲线xbaxy2（ba,为常数）过点P（5,2），且该曲线在点P处的切线与直线0327yx平行，则ba的值是解：3例5、（2014年广东卷理科T10）曲线25xey在点（0，3）处的切线方程为解：035yx以上高考试卷题考查了导数的几何意义及求导数的运算，考查考生导数基础知识，基本运算能力。二、利用导数解决函数的单调性1、利用导数求解函数的单调区间例6.（2014年湖北卷文科T21，理科T22）为圆周率，71828.2e为自然对数的底数（1）求函数xxxfln)(的单调区间解：先求函数定义域，再对函数求导，求出函数的单调区间，当)(),,0(xfex单调递增，当)(),,(xfex单调递减。例7、（2014年新课标全国卷Ⅱ理科T21）已知函数xeexfxx2)(5（1）讨论)(xf的单调性解：利用导数求)(xf的单调区间，02)(xxeexf，),()(在xf递增例8、（2014年全国卷理科T22）函数)1()1ln()(aaxaxxxf（1）讨论)(xf的单调性解：求导数)(xf，然后根据参数a取值的不确定性，对其分类讨论求解。2、根据函数的单调性求解参数的值例9、（2014全国大纲卷文科T21）函数)0(33)(23axxaxxf（1）讨论)(xf的单调性（2）若)(xf在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围解：先求出导函数，然后对参数a的取值进行分类，利用)(xf在（1,2）是递增，逆向求参数a。例10、（2014年山东理科T20）设函数kxxkxexfx)(ln2()(2为常数，71828.2e是自然对数的底数）（1）当0k时，求函数)(xf的单调区间；（2）若函数)(xf在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围例11、（2014年课标卷Ⅰ理科T11）已知函数,13)(23xaxxf若)(xf存在唯一的零点0X00X且，则a的取值范围是（）解：（1）当0a时，显然)(xf有两个零点，不符合（2）当,63)(,02xaxxfa令,0)(xf解析axx2,021①当0a时，13)(,0223xaxxfa在)0,(与)2(a上为增函数，在)2,0(a上为6减函数，)(xf存在唯一零点,Xo且00x，则,0)0(f即,01不成立②当0a时，13)(,0223xaxxfa在)2,(a和),0(上为减函数，在)0,2(a上为增正数，)(xf存在唯一零点,0X且,00X则,0)2(af即0143823aaa得2a或2a，又20aa，三、巧用导数求解函数的极值、最值1、利用导数求解函数的极值（或最值）例12、（2013年湖北卷理科T10）已知a为常数，函数)(ln)(axxxfx有两个极值点)(,2121xxxx，则（）A．21)(,0)(21xfxfB．21)(,0)(21xfxfC．21)(,0)(21xfxfD．21)(,0)(21xfxf解：0)(,12ln)(xfaxxfx有两个不等实根21,xx，即axyxy2,ln121有两个不同交点，由xy是曲线xyln1的切线，可知：,120a且2110xxaxx11ln1)21,0(，由101x，得0)(ln)(1111axxxxf当21xxx时，,0)(xf当2xx时，0)(xf21)1()(2afxf，选D例13、（2013年浙江卷理T8）已知e为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(kxexfkx则（）A．当1k时，)(xf在1x处取到极小值B．当1k时，)(xf在1x处取到极大值C．当2k时，)(xf在1x处取到到极小值7D．当2k时，)(xf在1x处取到极大值解：当1k时，)1)(1()(xexfx,1)(xxexf0)1(f，故BA1错当2k，)(xf=（1xe）2)1(x，2)1()1(22)1()(2xxexxxexxf当)(,0)(),1,(2xfxfxx递减；当),1(x时，)(,0)(xfxf递增，)(xf在1x处取得极小值，选：C例14、（2014安徽卷理科T18）设函数,)1(1)(32xxxaxf其中,0a（1）讨论)(xf在其定义域上的单调性（2）当]1,0[x时，求)(xf取得最大值和最小值时的x的值解：（1）)(xf的定义域为),(2321)(xxaxf令3341,3341,0)(21axaxxf，21xx))((3)(21xxxxxf当1xx或2xx时，;0)(xf当21xxx时，0)(xf故)(xf在),(1x和),(2x内单调递域，在),(21xx内单调递增（2）0,0,021xxa①当4a时，12x由（1）知，)(xf在1,0上单调递增，)(xf在0x和1x处分别取得最小值和最大值，②当40a时，12x由（1）知，)(xf在2,0x上单调递增，在1,2x上单调递增，)(xf在33412axx处取得最大值，又aff)1(,1)0(（Ⅰ）当10a时，)(xf在1x处取得最小值；8（Ⅱ）当1a时，)(xf在0x处和1x处同时取得小值（Ⅲ）当41a时，)(xf在0x处取得最小值本题考查了函数的单调性，极值，最值，以导数为工具是对函数进行分析等知识；考查了分类讨论的数学思想，运算求解能力。例15、（2013年福建卷理科T8）设函数)(xf的定义域为R，)0(ooxx是)(xf的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．)()(,oxfxfRxB．ox是)(xf的极小值点C．ox是)(xf的极小值点D．ox是)(xf的极小值点解：函数)(xf的极大值)(oxf不一定是最大值，故A错；)(xf与)(xf关于原点对称，故)0(ooxx是)(xf的极大值点时，ox是)(xf的极小值点，故选D2、由函数的极值，最值逆求参数的值问题例16、（2014年湖南卷理科T