2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学11-7

1.(2011·三门峡模拟)若二项式(x－2x)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为()A．6B．10C．12D．15[答案]C[解析]∵T5＝C4n(x)n－4·(－2x)4＝24·C4nxn－122是常数项，∴n－122＝0，∴n＝12.2．(2011·烟台月考)如果(3x－13x2)n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是()A．7B．－7C．21D．－21[答案]C[解析]∵2n＝128，∴n＝7，∴Tr＋1＝Cr7(3x)7－r·(－13x2)r＝(－1)r·37－r·Cr7·x7－5r3，令7－5r3＝－3得r＝6，∴1x3的系数为(－1)6·3·C67＝21.3．若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．2B．－1C．－2D．1[答案]C[解析]令x＋2＝1，为a0＋a1＋a2＋…＋a11，则x＝－1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2，故选C.4．若(x＋1)2n的展开式中，x的奇次项系数和与(x＋1)n展开式的各项系数和的差为480，则(x＋1)2n的展开式中第4项是()A．120x4B．210x4C．120x7D．210x6[答案]C[解析]由题意得22n－1－2n＝480，即22n－2·2n－960＝0，(2n－32)(2n＋30)＝0，∴2n＝32.∴n＝5，从而(x＋1)2n＝(x＋1)10，它的展开式中第四项为T4＝T3＋1＝C310x10－3·13＝120x7.故选C.5．(2010·浙江金华十校联考)在(x＋13x)24的展开式中，x的幂指数为整数的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项[答案]C[解析]展开式第r＋1项Tr＋1＝Cr24(x)24－r·13xr＝Cr24·x12－5r6，∵12－5r6为整数，0≤r≤24且r∈N，∴r＝0,6,12,18,24，故选C.6．(2011·辽宁沈阳质检)若(3x－1x)n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为()A．－5B．5C．－405D．405[答案]C[解析]令x＝1得2n＝32，所以n＝5，于是(3x－1x)5展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCr5(3x)5－r(1x)r＝(－1)rCr535－rx5－2r，令5－2r＝3，得r＝1，于是展开式中含x3的项的系数为(－1)1C1534＝－405，故选C.7．(2011·广东理，10)x(x－2x)7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)[答案]84[解析]x4的系数，即(x－2x)7展开式中x3的系数，Tr＋1＝Cr7·x7－r·(－2x)r＝(－2)r·Cr7·x7－2r，令7－2r＝3得，r＝2，∴所求系数为(－2)2C27＝84.8．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋2a2＋3a3＝________.[答案]5[解析]法1：令x＝－2得a0＝－1.令x＝0得27＝a0＋2a1＋4a2＋8a3.因此a1＋2a2＋4a3＝14.∵C03(2x)3·30＝a3·x3.∴a3＝8.∴a1＋2a2＋3a3＝14－a3＝6.∴a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6＝5.法2：由于2x＋3＝2(x＋2)－1，故(2x＋3)3＝[2(x＋2)－1]3＝8(x＋2)3－4C13(x＋2)2＋2C23(x＋2)－1，故a3＝8，a2＝－12，a1＝6，a0＝－1.故a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6－24＋24＝5.1.(2011·重庆理，4)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A．6B．7C．8D．9[答案]B[解析]展开式通项：Tr＋1＝Crn(3x)r＝3rCrnxr由题意：35C5n＝36C6n即C5n＝3C6n，∴n！5！n－5！＝3·n！6！n－6！∴1n－5＝36∴n＝7.选B.2．已知a、b为常数，ba0，且a、－32、b成等比数列，(a＋bx)6的展开式中所有项的系数和为64，则a等于()A．－12B.12C．－1D.32[答案]B[解析]由a、－32、b成等比数列得ab＝34，由(a＋bx)6展开式中所有项的系数和为64得(a＋b)6＝64，∴ba0ab＝34a＋b6＝64，∴34aa0a＋34a＝2，∴a＝12.3．(2011·银川模拟)在(x2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A．－7B．7C．－28D．28[答案]B[解析]由条件知n＝8，∴Tr＋1＝Cr8(x2)8－r·(－13x)r＝(－1)r·2r－8·Cr8·x8－4r3令8－4r3＝0得，r＝6，∴展开式的常数项为(－1)6·26－8·C68＝7.4．(2011·河北石家庄一模)多项式x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为()A．10B．45C．－9D．－45[答案]B[解析]x10＝[1＋(x－1)]10＝1＋C110(x－1)＋C210(x－1)2＋…＋C1010(x－1)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10对任意实数x都成立，∴a8＝C810＝C210＝45.5．在(1＋x)3＋(1＋x)3＋(1＋3x)3的展开式中，x的系数为________(用数字作答)．[答案]7[解析]C13＋C23＋C33＝23－1＝7.6．(2011·广东六校联考)若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝________.[答案]256[解析](x－a)8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr8·x8－r·(－a)r＝(－1)rCr8·ar·x8－r，令8－r＝5，则r＝3，于是a5＝(－1)3C38·a3＝56，解得a＝－1，即(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28＝256.7．(2010·广西柳州铁一中高考冲刺)若(2x2－1x3)n的展开式中含有常数项，求最小的正整数n.[答案]5[解析]Tr＋1＝Crn(2x2)n－r·(－1x3)r＝(－1)r·2n－r·Crnx2n－5r，令2n－5r＝0，得r＝2n5，∵r∈Z，故最小的正整数n＝5.8．已知(12＋2x)n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．[解析](1)∵C4n＋C6n＝2C5n，∴n2－21n＋98＝0，∴n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，∴T4的系数＝C37(12)423＝352，T5的系数＝C47(12)324＝70.当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数＝C714(12)727＝3432.(2)由C0n＋C1n＋C2n＝79，可得n＝12，设Tk＋1项的系数最大．∵(12＋2x)12＝(12)12(1＋4x)12，∴Ck124k≥Ck－1124k－1，Ck124k≥Ck＋1124k＋1.∴9.4k10.4，∴k＝10，∴展开式中系数最大的项为T11.T11＝(12)12C1012410x10＝16896x10.1．在(3x－23x)11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，则01xαdx＝()A.16B.67C.89D.125[答案]B[解析]因为展开式一共12项，其通项公式为Tr＋1＝Cr11·(3x)11－r·(－23x)r＝Cr11·311－r·(－2)r·x33－r6，r＝0,1，…，11.其中只有第4项和第10项是有理项，故概率α＝212＝16，∴01x16dx＝67x76|10＝67.2．若x2＋1ax6的二项展开式中，x3的系数为52，则二项式系数最大的项为________．[答案]52x3[解析]∵Tr＋1＝Cr6(x2)6－r1axr＝Cr6a－rx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴C36a－3＝52，解得a＝2.故二项式系数最大的项为T4＝C36(x2)3(12x)3＝52x3.3．(2011·上海十三校第二次联考)在二项式(x＋3x)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________.[答案]3[解析]由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3.4．(2010·山东日照市模考)设a为函数y＝sinx＋3cosx(x∈R)的最大值，则二项式(ax－1x)6的展开式中含x2项的系数是________．[答案]－192[解析]y＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3的最大值为a＝2，二项式2x－1x6的展开式中第r＋1项Tr＋1＝Cr6(2x)6－r·－1xr＝(－1)r·26－r·Cr6x3－r，令3－r＝2，则r＝1，∴x2项的系数为(－1)1×25×C16＝－192.5．(2011·安徽宣城模拟)在(x－2)5(2＋y)4的展开式中x3y2的系数为________．[答案]480[解析](x－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5x5－r(－2)r，令5－r＝3得r＝2，得x3的系数C25(－2)2＝40；(2＋y)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr4(2)4－ryr，令r＝2得y2的系数C24(2)2＝12，于是展开式中x3y2的系数为40×12＝480.